角度测量

在数学上，“三角学”一词是从两个希腊语单词中获得的，其中“ trigon”和“ metron”表示“测量三角形的边”。因此，三角函数表示直角三角形的角度与其两侧之比之间的关系，三角函数也称为角度函数。通常，与正割，割线和余切线相比，现代数学中使用正弦，余弦和切线。现在每个的这六个三角函数具有相应的被称为函数反函数。

有许多三角方程和恒等式表示函数之间的关系并有助于找到角度。在本文中，我们将研究三角形，三角比例和函数以及各种角度和测量度的概念。

三角形的基本概念

三角形的属性：

• 一个三角形具有3个边，3个顶点和3个角度。
• 三角形的所有内角的总和始终等于180°，这被称为三角形的角度总和属性。
• 任何两侧的长度之差始终小于第三侧。
• 三角形的面积为1/2×基数×高度

三角形角度：

• 一个直角三角形：它具有一个直角。直角是大小为90°的角度。
• 钝角三角形：具有一个钝角。钝角是大小大于90°但小于180°的角度。
• 锐角三角形：锐角小于90°但大于0°。

毕达哥拉斯定理：

在直角三角形中，直角三角形的两侧(除了斜边)的平方和等于斜边的平方。换句话说，斜边是直角三角形的最长边，并且与90°的角度相反。

公式：

hypotenuse² = perpendicular²+ base² 

Or c² = a² + b²

其中a是垂直边，b是底边，c是斜边

注意：毕达哥拉斯定理仅适用于直角三角形。

毕达哥拉斯定理的证明：

Given: A right-angled triangle ABC, whose right angle is at B.

To Prove: AC² = AB² + BC² 

Construction: Construct a line from angle B to the line AC such that it makes a angle of 90° with AC.

Proof:

As we know that, △ADB ~ △ABC

Therefore, AD/AB = AB/AC (corresponding sides of similar triangles)

Or, AB² = AD × AC ……………(1)

Also, △BDC ~△ABC

Therefore, CD/BC = BC/AC (corresponding sides of similar triangles)

Or, BC² = CD × AC ……………(2)

On adding the equations (1) and (2) we get,

AB² + BC² = AD × AC + CD × AC

AB² + BC² = AC (AD + CD)

Since, AD + CD = AC

So, AC² = AB² + BC²

Hence proved

三角比

在三角函数中，有6个比率用于找到角度，它们被称为三角函数。这六个三角函数是正弦，余弦，割线，割线，切线和割线。

通过使用毕达哥拉斯定理和直角三角形提取三角函数。三角比为：

sin θ = P/H

cos θ = B/H

tan θ = P/B = sin θ/cos θ

cot θ = 1/tan θ = cos θ/sin θ = B/P

cosec θ = 1/sin θ = H/P

sec θ = 1/cos θ = H/B

三角函数表：三角函数表基本上是在0°，30°，45°，60°，90°等标准角度上的三角函数值(正弦，余弦，tan，cot，秒和秒)的系统集合。但是，也可以通过使用此表找到其他角度。

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan θ	0	1/√3	1	√3	not defined
cot θ	not defined	√3	1	1/√3	0
sec θ	1	2/√3	√2	2	not defined
cosec θ	not defined	2	√2	2/√3	1

三角恒等式：

• 毕达哥拉斯身份：

勾股定性是指用三角函数表示勾股定理的那些恒等式。

sin ²θ + cos² θ = 1

1 + tan² θ = sin² θ

1 + cot² θ = cosec² θ

• 互惠身份

cosec θ = 1/sin θ

sec θ = 1/cos θ

cot θ = 1/tan θ

sin θ = 1/cosec θ

cos θ = 1/sec θ

tan θ = 1/cot θ

• 共同身份：

协同功能标识指示sin，cos，tan，cot，sec和cosec之间的关系。角度的三角函数的值等于补数的协函数的值。您应该记住“将补码定义为两个角度之和为90°”。

sin(90 − θ) = cos θ

cos(90 − θ) = sin θ

tan(90 − θ) = cot θ

cot(90 − θ) = tan θ

sec(90 − θ) = cosec θ

cosec(90 − θ) = sec θ​
 

• 总数和差异标识：

sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny

tan(x + y) =$\frac{tan x + tan y}{1−tan x \tan y}$ 

sin(x – y) = sinx cosy – cosx siny

cos (x – y) = cosx cosy + sinx siny

tan (x − y) = $\frac{tan x-tan y}{1+tan x \tan y}$

cot (x + y) =$\frac{cotxcoty - 1}{cotx +coty}$

cot (x – y) = $\frac{cotx coty + 1}{coty -cotx}$

• 双角身份：

两倍，表示角度的大小变为前一个角度的两倍时。

sin(2x) = 2 sinx cosx =$\frac{2tan x}{1+tan2 x}$ 

cos(2x) = cos2x – sin2x = $\frac{1-tan2 x}{1+tan2 x}$

cos(2x) = 2 cos2x − 1 = 1 – 2 sin2x

tan(2x) = $\frac{2tanx}{1−tan2x}$

sec (2x) = $\frac{sec2 x}{2-sec2 x}$

• 三重角度身份：

sin 3x = 3 sinx – 4 sin3x

cos 3x = 4 cos3x-3 cos x

tan 3x = $\frac{3tanx-tan3x}{1-3tan2x}$

• 产品标识总和：

sinx + siny = $2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$

sinx – siny = $2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$

cosx + cosy = $2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$

cosx – cosy = $-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$

角度测量

角度是给定射线从其初始点开始旋转的量度。原始射线称为角度的初始侧，旋转后射线的最终位置称为终端侧。旋转点称为顶点。如果旋转方向为逆时针，则该角度为“ +”正角；如果旋转方向为顺时针，则该角度为“-”维角。在三角学中，角度值的范围是0-360。

角度有两种度量单位：

1. 度数
2. 弧度

度测量：

通常，我们可以通过确定从初始侧到终端侧的旋转量来测量角度。因此，我们可以使用度数来测量角度。 1度(1°)的度数等于完整旋转的1/360的旋转。在此，旋转用于测量一个角度，该角度在初始面围绕其顶点一直旋转直到再次到达其初始位置时产生。

当我们测量角度时，在圆的圆周上标记度数很方便。因此，在完整的旋转中，角度为360°，在半旋转中，角度为180°，在四分之一旋转中，角度为90°，依此类推。

one complete angle = 360 °

one degree = rotation of (1/360)^th of a complete revolution

1° = 60 minutes  

1° = 60′

1 minute = 60 seconds  

1′ = 60”

弧度测量：

我们也可以使用弧度测量角度。弧度是圆弧的长度与圆弧的半径之比。由于弧度是长度与长度的比率，因此结果是不需要任何单位符号的纯数字。

1 radian = 1^c 

1 radian = Angle subtended by an arc of unit length at the centre point of the circle.

1 unit length of arc = 1 radian

2 unit length of arc = 2 radian

2π unit length of arc (complete revolution) = 2π radian

1 complete revolution = 360° = 2π^c

360° = 2π radian

在圆中，如果圆的半径为r，则弧长l在中心处对角θ，则θ(弧度)= l / r或l =rθ。其中，l =圆弧的长度，r =圆的半径。

度和弧度之间的关系：

众所周知，一个圆在其中心处对着一个角度，该角度的大小为2π弧度和360°。

因此， 2π弧度= 360°

π弧度= 180°

我们知道π= 22/7

所以1弧度= 180°/π= 57°16′(大约)

同样，1°=π/ 180 = 0.0174(大约)

公式：

Angle in Radian = Angle in Degree x π/180

or

Angle in Degree = Angle in Radian x π/180

下表显示了度，弧度和公转之间的关系：

degree	radian	revolution
0°	0	0
30°	π/6	1/12
45°	π/4	1/8
60°	π/3	1/6
90°	π/2	1/4
120°	2π/3	1/3
180°	π	1/2
360°	2π	1

样本问题

问题1.将90度转换为弧度。

解决方案：

Given, 90° i.e. the angle

As we know that,

Angle in radian = Angle in degree x (π/180)

= 90 x (π/180)

= π/2

Hence, 90 ° is equal to π/2 in radian.

问题2.将π/ 6转换为度。

解决方案：

By Using the above formula

we get,  π/6 × (180/π) 

= 180/6 

= 30 °

问题3.将15度转换为弧度。

解决方案：

By Using the above formula,

we get, 15 x π/180

= π/12

问题4.如果cos x = -4/5且x位于第三象限，则求出sin x的值tan x。

解决方案：

Given that cos x = -4/5 and lies in the third quadrant

Then, using identity sin ²θ + cos² θ = 1, we get

 sin ²θ = 1 – cos² θ

 sin ² x = 1 – (-4/5)²

= 1 – (16/25)

= (25 – 16)/25

= 9/25

sin x= ±3/5

It is given that x lies in the third quadrant
So, sin x= -3/5

Now we find tan x 

So as we know that tan x = sin x/cos x

So, tan x =-3/5 /-4/5 = 3/4

问题5.找到sin 21π/ 2的值

解决方案：

According to the question we have to find the value of sin 21π/2

sin 21π/2 = sin(10π + π/2) = sin π/2 = 1

问题6.一个直角三角形ABC，在B处成直角，斜边AC = 10 cm，底BC = 2 cm，垂直AB = 5 cm，如果∠ACB=θ，则求出所有三角比的值。

解决方案：

Given that in triangle ABC

Hypotenuse AC = 10 cm 

Base BC = 2 cm

Perpendicular AB = 5 cm

As we know that 

sin θ = P/H = 5/10 = 1/2

cos θ = B/H = 2/10 = 1/5

tan θ = P/B = 5/2

cot θ = B/P = 2/5

cosec θ = H/P = 10/5 = 2

sec θ = H/B = 10/2 = 5

问题7.如果sinθ= 10且cosθ= 5，则求出科特θ的值。

解决方案：

Given that sin θ = 10 and cos θ = 5

We have to find cot θ 

As we know that cot θ = cosθ/sinθ 

cot θ = 5/10

cot θ = 1/5

问题8.如果sinθ= 10，则求出cosecθ的值。

解决方案：

Given that sin θ = 10 

We have to find cosec θ 

As we know that cosec θ = 1/sinθ 

So, cosec θ = 1/10 

问题9.一个直角三角形ABC，在B处成直角，斜边AC = 20 cm，底BC = 5 cm，垂直AB = 10 cm，如果∠ACB=θ，则求出tanθ和cosθ的值。

解决方案：

Given that in triangle ABC

Hypotenuse AC = 20 cm 

Base BC = 5 cm

Perpendicular AB = 10 cm

As we know that 

sin θ = P/H = 10/20 = 1/2

cos θ = B/H = 5/20 = 1/4

tan θ = P/B = 10/5 = 2

问题10。如果sinθ= 30且cosθ= 5，则求出tanθ的值。

解决方案：

Given that sin θ = 30 and cos θ = 5

We have to find tan θ 

As we know that tan θ = sinθ /cosθ

tan θ = 30/5 = 6