我们在生活中遇到的许多物体的形状都是“圆形”的，例如硬币，手镯，瓶盖，地球，车轮等。用外行的话来说，形状通常被称为圆形。由与同一平面中的固定点等距的所有这些点的集合形成的闭合平面图被称为圆。
平面内与平面内的硬点和硬点相距一定距离的所有点的集合称为圆。换句话说，可以将圆描述为在平面中移动的点的轨迹，以使其与固定点的距离始终恒定。由与同一平面中的固定点等距的所有这些点的集合形成的闭合平面图被称为圆。
圆的周长
圆的周长通常定义为围绕圆的距离。借助示例可以理解这一点。假设将长度为5 m的导线弯曲以形成一个圆。在此，周长等于导线的长度，即5 m。整个圆的长度称为圆周。
Example: The radius of a circular rug is 4 ft. What is the circumference?
Solution:
radius = 4 ft
Circumference Formula = 2πr
=> 2 * 3.14 * 4 = 25.12ft
中心
圆可以是一条曲线，其所有点都位于一个等效平面上，并且与中心的距离相等。该固定点称为圆心。上图显示了称为中心的绿色点。
半径
该固定点称为圆的中心，因此固定距离称为圆的半径。圆上任何一点与其中心之间的恒定距离称为半径。注意，将中心与圆上任何点连接的线段也称为圆的半径。
Radius = Diameter/2 = d/2
Example: The distance around a carousel is 21.98 yd. What is the radius?
Solution:
Circumference = 21.98 yd
Diameter = 21.98 yd ÷ 3.14 = 7 yd
By Formula, Radius = Diameter/2
Therefore,
radius = 3.5 yd
直径
穿过圆心的和弦称为圆直径。 180度角的两个半径是圆的直径。直径是圆的最大弦，每个直径都具有相等的长度，该长度足以等于半径的两倍。
Diameter = 2 × radius
Example: If the diameter of a circle is 142.8 mm, then what is the radius?
Solution:
diameter = 142.8 mm
By Formula, diameter = 2 * r
radius = (142.8 ÷ 2)= 71.4 mm
圆的内部和外部
圆将其所在的平面分为三个部分。他们是：
- 在圆内部，也称为圆内部。位于圆平面内的点，使其与圆心的距离小于圆的半径，称为内点。
- 在圆上，点位于圆的平面上，以使其与圆心的距离等于圆的半径。简而言之，位于圆上的一组点是圆的圆周上的点。
- 在圆的外部，也称为圆的外部。位于圆平面内，使其与圆心的距离大于圆半径的点是外部点。
Area of Track = π × (Outer Radius – Inner Radius)
Example: The inner circumference of a circular track is 440 m, and the track is 14 m wide. Calculate the
cost of levelling the track at 25 paise/m2.
Solution:
Let the radius of the inner circle be r m.
Now,
Inner circumference = 440 m
⇒ 2πr = 440
⇒ 2 × 22/7 × r = 440
⇒ r = 440 × 744
⇒ Inner radius, r = 70
We know that the track is 14 m wide.
∴ Outer radius (R) = (70 + 14) = 84 m
Area of the track = π(R− r)= π (842 – 702)
=> 22/7 × (7056 – 4900)
=> 6776 m2
Cost of levelling at 25 paise per square metre
=> 6676 × 25 = 169400 paise
or,
169400/100 = Rs.1694
弦
在圆的圆周上连接两个不同点的线段称为圆的弦。一个圆可以有任意数量的和弦。直径是圆的最大弦。圆的弦可以是连接圆周的两个点的线。通过中心的和弦称为直径。请注意，直径是指最长的弦，每个直径都具有相等的长度，该长度足以等于半径的两倍。
Length of Chord = 2 × √(radius2 − distance2)
Example: Find the length of the chord of a circle where the radius is 7 cm and perpendicular distance from
the chord to the centre is 4 cm?
Solution:
Given radius, r = 8 cm
and distance, d = 3 cm
Chord length = 2√(r2 – d2)
⇒ Chord length = 2√(82 – 32)
⇒ Chord length = 2√(64 – 9)
⇒ Chord length = 2√55
⇒ Chord length = 2 × 7.416
or, chord length = 14.83 cm
弧线
两点之间的一个圆称为圆弧。圆的圆周的一部分称为圆弧。圆弧是圆的连续部分。弧线的上AB弧称为次弧，而下AB弧称为主要弧。现在穿过圆形区域，该区域被割线或和弦与圆形的其余部分切开。在一个圆圈中，相等的和弦具有相等的弧度。
Length of Arc = 2 * π * r * angle / 360
Example: If the radius of a circle is 5 cm and the measure of the arc is 110˚, what is the length of the arc?
Solution:
Arc length = 2 * π * r * angle / 360
=> 2 * 3.14 * 5 * 110/360°
=> 9.6 cm
部分
弦和其任一弧之间的区域称为圆的线段。由弦和圆弧界定的圆的一部分称为圆的一部分。下图显示了圆圈的主要和次要部分。在此，具有大弧AQB的线段AQBA称为主线段，而具有小弧APB的线段APBA称为小线段。
示例：找到从半径为12 cm的圆和长度为12 cm的弦切出的弧的长度。还，
找到次要区域的面积。
解决方案：
Let AB be the chord. Joining A and B to O, we get an equilateral triangle OAB.
Thus, we have: ∠O = ∠A = ∠B = 60°
Length of the arc ACB: 2π × 12 × 60/360 = 4π = 12.56 cm
Length of the arc ADB:
Circumference of the circle – Length of the arc ACB
=> 2π × 12 – 4π = 20π cm = 62.80 cm
Now, Area of the minor segment:
Area of the sector – Area of the triangle
=> [π × (12)2 × 60/360 – 3√4 × (12)2] = 13.08 cm2
部门
圆弧之间以及两个半径之间的区域(将中心连接到圆弧的顶部)称为扇形。圆的扇区是由两个半径和圆弧界定的部分。在下面给出的无花果中。 AOB是一个以O为中心的圆的扇区。次弧对应于次扇区，因此主弧对应于主扇区。当两个圆弧相等时，也就是说，每个圆弧可以是一个半圆，则两个线段和两个扇区都相等，并且每个圆弧都被理解为半圆区域。
Area of sector = θ/360 × πr2
Example: The area of a sector with a radius of 6 cm is 35.4 cm2. Calculate the angle of the sector.
Solution:
Area of sector = Angle * π * r * r/360°
Angle * π * 6 * 6/360° = 35.4
Angle = 35.4/36π × 360°
= 112.67°
解决方案的一些问题
问题1.圆的每个直径都是一个弦。这句话的相反说法是否正确?
答：每个直径也可以是一个弦，因为其端点位于圆的圆周上。它是穿过圆心的最长和弦。
问题2：陈述圆的扇形和扇形段之间的差异。
答案：扇形是圆弧之间的区域，即2半径之间的区域，将圆心连接到圆弧的最高点，而扇形是圆的弦与相关圆弧之间的区域。
问题3.为了使四边形变为循环四边形，其对角的一对之和必须足以满足________。
答：为了使四边形变为循环四边形，一对相对角之和必须等于180°。
问题4.通过三个非共线点通常绘制什么百分数圆?
答：只能通过三个给定的非共线点画一个圆。