我们提供了一个递归函数，该递归函数以其他术语的形式描述了第N个术语。在本文中，我们以具体示例为例。 _0.jpg "由QuickLaTeX.com渲染")
现在给定n，则必须使用上述公式找出第n个项。
例子：
Input : n = 2
Output : 5
Input : n = 3
Output :13
先决条件：
基本方法：只需迭代n个项即可解决此问题。每次您找到一个术语时，使用该术语都可以找到下一个，依此类推。但是这个问题的时间复杂度为O(n)。
优化方法
所有这些问题，其中的一个术语是线性方式的其他术语的函数。然后可以使用Matrix(请参阅：Matrix Exponentiation)解决这些问题。首先我们制作变换矩阵，然后仅使用矩阵求幂来找到第N个项。
分步方法包括：
步骤1.确定k取决于T(i)的项数。
在我们的示例中，T(i)取决于两个项。因此，k = 2
步骤2.确定初始值
如本文所述，T0 = 1，T1 = 1。
步骤3.确定TM，即转换矩阵。
这是解决递归关系的最重要步骤。在这一步中，我们必须制作尺寸为k * k的矩阵。
这样的
T(i)= TM *(初始值向量)
此处的初始值向量是包含初始值的向量。我们将此向量命名为initial 。 ![$ So, Initial Vector=\left[ \begin{array}{c} T_1 & T_0\\ \end{array} \right] $ Now find Transformation matrix. $TM=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$ Now, First row of T2 give us 2nd term. $T_2=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]*\left[ \begin{array}{c} T_1 & T_0\\ \end{array} \right]$ So, general term will be, First row of Tn. $T_n=\left[ \begin{array}{cc} 2 & 3\\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]^{n-1}*\left[ \begin{array}{c} T_1 & T_0\\ \end{array} \right]$ So, finally we have Tn=$TM^{n-1}*Intial Vector$ And this power of matrix can be calculated using matrix exponenciation in O(logn).](https://mangdo-1254073825.cos.ap-chengdu.myqcloud.com//front_eng_imgs/geeksforgeeks2021/Find%20Nth%20term%20(A%20matrix%20exponentiation%20example)_1.jpg "由QuickLaTeX.com渲染")
下面是实现上述方法的程序
C++
// CPP program to find n-th term of a recursive
// function using matrix exponentiation.
#include
using namespace std;
#define MOD 1000000009
#define ll long long int
ll power(ll n)
{
if (n <= 1)
return 1;
// This power function returns first row of
// {Transformation Matrix}^n-1*Initial Vector
n--;
// This is an identity matrix.
ll res[2][2] = { 1, 0, 0, 1 };
// this is Transformation matrix.
ll tMat[2][2] = { 2, 3, 1, 0 };
// Matrix exponentiation to calculate power of {tMat}^n-1
// store res in "res" matrix.
while (n) {
if (n & 1) {
ll tmp[2][2];
tmp[0][0] = (res[0][0] * tMat[0][0] + res[0][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[0][1] = (res[0][0] * tMat[0][1] + res[0][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tmp[1][0] = (res[1][0] * tMat[0][0] + res[1][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[1][1] = (res[1][0] * tMat[0][1] + res[1][1] * tMat[1][1]) % MOD;
res[0][0] = tmp[0][0];
res[0][1] = tmp[0][1];
res[1][0] = tmp[1][0];
res[1][1] = tmp[1][1];
}
n = n / 2;
ll tmp[2][2];
tmp[0][0] = (tMat[0][0] * tMat[0][0] + tMat[0][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[0][1] = (tMat[0][0] * tMat[0][1] + tMat[0][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tmp[1][0] = (tMat[1][0] * tMat[0][0] + tMat[1][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[1][1] = (tMat[1][0] * tMat[0][1] + tMat[1][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tMat[0][0] = tmp[0][0];
tMat[0][1] = tmp[0][1];
tMat[1][0] = tmp[1][0];
tMat[1][1] = tmp[1][1];
}
// res store {Transformation matrix}^n-1
// hence will be first row of res*Initial Vector.
return (res[0][0] * 1 + res[0][1] * 1) % MOD;
}
// Driver code
int main()
{
ll n = 3;
cout << power(n);
return 0;
} Java
// Java program to find n-th term of a recursive
// function using matrix exponentiation.
class GfG {
static int MAX = 100;
static int MOD = 1000000009;
static int power(int n)
{
if (n <= 1) {
return 1;
}
// This power function returns first row of
// {Transformation Matrix}^n-1*Initial Vector
n--;
// This is an identity matrix.
int res[][] = { { 1, 0 }, { 0, 1 } };
// this is Transformation matrix.
int tMat[][] = { { 2, 3 }, { 1, 0 } };
// Matrix exponentiation to calculate power of {tMat}^n-1
// store res in "res" matrix.
while (n > 0) {
if (n % 2 == 1) {
int tmp[][] = new int[2][2];
tmp[0][0] = (res[0][0] * tMat[0][0]
+ res[0][1] * tMat[1][0])
% MOD;
tmp[0][1] = (res[0][0] * tMat[0][1]
+ res[0][1] * tMat[1][1])
% MOD;
tmp[1][0] = (res[1][0] * tMat[0][0]
+ res[1][1] * tMat[1][0])
% MOD;
tmp[1][1] = (res[1][0] * tMat[0][1]
+ res[1][1] * tMat[1][1])
% MOD;
res[0][0] = tmp[0][0];
res[0][1] = tmp[0][1];
res[1][0] = tmp[1][0];
res[1][1] = tmp[1][1];
}
n = n / 2;
int tmp[][] = new int[2][2];
tmp[0][0] = (tMat[0][0] * tMat[0][0]
+ tMat[0][1] * tMat[1][0])
% MOD;
tmp[0][1] = (tMat[0][0] * tMat[0][1]
+ tMat[0][1] * tMat[1][1])
% MOD;
tmp[1][0] = (tMat[1][0] * tMat[0][0]
+ tMat[1][1] * tMat[1][0])
% MOD;
tmp[1][1] = (tMat[1][0] * tMat[0][1]
+ tMat[1][1] * tMat[1][1])
% MOD;
tMat[0][0] = tmp[0][0];
tMat[0][1] = tmp[0][1];
tMat[1][0] = tmp[1][0];
tMat[1][1] = tmp[1][1];
}
// res store {Transformation matrix}^n-1
// hence wiint be first row of res*Initial Vector.
return (res[0][0] * 1 + res[0][1] * 1) % MOD;
}
// Driver code
public static void main(String[] args)
{
int n = 3;
System.out.println(power(n));
}
}
// This code contributed by Rajput-JiPython3
# Python3 program to find n-th term of a recursive
# function using matrix exponentiation.
MOD = 1000000009;
def power(n):
if (n <= 1):
return 1;
# This power function returns first row of
# {Transformation Matrix}^n-1 * Initial Vector
n-= 1;
# This is an identity matrix.
res = [[1, 0], [0, 1]];
# this is Transformation matrix.
tMat = [[2, 3], [1, 0]];
# Matrix exponentiation to calculate
# power of {tMat}^n-1 store res in "res" matrix.
while (n):
if (n & 1):
tmp = [[0 for x in range(2)] for y in range(2)];
tmp[0][0] = (res[0][0] * tMat[0][0] +
res[0][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[0][1] = (res[0][0] * tMat[0][1] +
res[0][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tmp[1][0] = (res[1][0] * tMat[0][0] +
res[1][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[1][1] = (res[1][0] * tMat[0][1] +
res[1][1] * tMat[1][1]) % MOD;
res[0][0] = tmp[0][0];
res[0][1] = tmp[0][1];
res[1][0] = tmp[1][0];
res[1][1] = tmp[1][1];
n = n // 2;
tmp = [[0 for x in range(2)] for y in range(2)];
tmp[0][0] = (tMat[0][0] * tMat[0][0] +
tMat[0][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[0][1] = (tMat[0][0] * tMat[0][1] +
tMat[0][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tmp[1][0] = (tMat[1][0] * tMat[0][0] +
tMat[1][1] * tMat[1][0]) % MOD;
tmp[1][1] = (tMat[1][0] * tMat[0][1] +
tMat[1][1] * tMat[1][1]) % MOD;
tMat[0][0] = tmp[0][0];
tMat[0][1] = tmp[0][1];
tMat[1][0] = tmp[1][0];
tMat[1][1] = tmp[1][1];
# res store {Transformation matrix}^n-1
# hence will be first row of res * Initial Vector.
return (res[0][0] * 1 + res[0][1] * 1) % MOD;
# Driver code
n = 3;
print(power(n));
# This code is contributed by mitsC#
// C# program to find n-th term of a recursive
// function using matrix exponentiation.
using System;
class GfG {
// static int MAX = 100;
static int MOD = 1000000009;
static int power(int n)
{
if (n <= 1) {
return 1;
}
// This power function returns first row of
// {Transformation Matrix}^n-1*Initial Vector
n--;
// This is an identity matrix.
int[, ] res = { { 1, 0 }, { 0, 1 } };
// this is Transformation matrix.
int[, ] tMat = { { 2, 3 }, { 1, 0 } };
// Matrix exponentiation to calculate power of {tMat}^n-1
// store res in "res" matrix.
while (n > 0) {
if (n % 2 == 1) {
int[, ] tmp = new int[2, 2];
tmp[0, 0] = (res[0, 0] * tMat[0, 0]
+ res[0, 1] * tMat[1, 0])
% MOD;
tmp[0, 1] = (res[0, 0] * tMat[0, 1]
+ res[0, 1] * tMat[1, 1])
% MOD;
tmp[1, 0] = (res[1, 0] * tMat[0, 0]
+ res[1, 1] * tMat[1, 0])
% MOD;
tmp[1, 1] = (res[1, 0] * tMat[0, 1]
+ res[1, 1] * tMat[1, 1])
% MOD;
res[0, 0] = tmp[0, 0];
res[0, 1] = tmp[0, 1];
res[1, 0] = tmp[1, 0];
res[1, 1] = tmp[1, 1];
}
n = n / 2;
int[, ] tmp1 = new int[2, 2];
tmp1[0, 0] = (tMat[0, 0] * tMat[0, 0]
+ tMat[0, 1] * tMat[1, 0])
% MOD;
tmp1[0, 1] = (tMat[0, 0] * tMat[0, 1]
+ tMat[0, 1] * tMat[1, 1])
% MOD;
tmp1[1, 0] = (tMat[1, 0] * tMat[0, 0]
+ tMat[1, 1] * tMat[1, 0])
% MOD;
tmp1[1, 1] = (tMat[1, 0] * tMat[0, 1]
+ tMat[1, 1] * tMat[1, 1])
% MOD;
tMat[0, 0] = tmp1[0, 0];
tMat[0, 1] = tmp1[0, 1];
tMat[1, 0] = tmp1[1, 0];
tMat[1, 1] = tmp1[1, 1];
}
// res store {Transformation matrix}^n-1
// hence wiint be first row of res*Initial Vector.
return (res[0, 0] * 1 + res[0, 1] * 1) % MOD;
}
// Driver code
public static void Main()
{
int n = 3;
Console.WriteLine(power(n));
}
}
// This code contributed by mitsPHP
输出：
13
时间复杂度： O(Log n)
使用相同的想法在O(Log n)中找到第n个斐波那契数
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