长度为 N 且值小于 K 的整数的计数

给定一个长度为N和值小于K的整数集合，求由该集合中的数字组成的长度为N的整数的计数。其中集合可能包含重复的数字。

解题思路

该问题可以通过动态规划（dp）的方法求解。设$dp[i][j]$表示长度为$i$，值小于$j$的整数的计数。当我们加入一个新的数字$k$时，它可以放在整数的最高位，最低位，或者中间的任意位置。因此，加入数字$k$后的dp转移方程为：

$dp[i][j] = k * dp[i-1][j] + dp[i-1][j/k] + (k-1) * dp[i-1][(j-1)/k]$

其中，$k * dp[i-1][j]$表示在最高位放置数字$k$；$dp[i-1][j/k]$表示在中间插入数字$k$；$(k-1) * dp[i-1][(j-1)/k]$表示在最低位放置数字$k$。

由于我们只需要求解长度为$N$，因此只需要计算$dp[N][1\sim K-1]$，最后将它们求和即为答案。

代码实现

以下为Python实现：

def count_number(n, k, nums):
    dp = [[0] * k for _ in range(n + 1)]
    for x in nums:
        if x < k:
            dp[1][x] += 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, k):
            for x in nums:
                if x <= j:
                    dp[i][j] += x * dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j // x] + (x - 1) * dp[i - 1][(j - 1) // x]
    return sum(dp[N][1:k])

其中，n为整数的长度，k为整数的最大值加1，nums为给定的整数集合。