小于N的二进制数字计数

问题描述

给定一个正整数N，求小于N的所有数字的二进制表示中包含1的个数之和。

例如，对于N=5，数字1的二进制表示为0001，共有1个1；数字2的二进制表示为0010，共有1个1；数字3的二进制表示为0011，共有2个1；数字4的二进制表示为0100，共有1个1；数字5的二进制表示为0101，共有2个1。因此，小于N的数字的二进制表示中包含1的个数之和为 1+1+2+1+2 = 7。

编写一个函数，输入一个正整数N，输出小于N的所有数字的二进制表示中包含1的个数之和。

解法

思路

对于小于N的每个数字，可以将其转化为二进制表示，并计算其中1的个数，再将所有数字的1的个数相加，即可得到小于N的所有数字的二进制表示中包含1的个数之和。

算法

1. 初始化计数器sum为0。
2. 从1到N-1遍历所有数字：
3. 将该数字转化为二进制表示。
4. 计算该二进制表示中1的个数，加入到sum中。
5. 返回sum。

代码实现

def count_bits(N):
    """
    计算小于N的所有数字的二进制表示中包含1的个数之和。
    """
    sum = 0
    for i in range(1, N):
        # 将数字转化为二进制表示
        binary_str = bin(i)[2:]
        # 计算二进制表示中1的个数，并加入到sum中
        sum += binary_str.count('1')
    return sum

复杂度分析

时间复杂度：遍历1到N-1共N-1个数字，对于每个数字需要计算其二进制表示中1的个数，计算1的个数的时间复杂度为O(log N)，因此总时间复杂度为O((N-1)log N)。

空间复杂度：除返回值外，算法使用了常数空间，因此空间复杂度为O(1)。

总结

本文介绍了如何计算小于N的所有数字的二进制表示中包含1的个数之和。该问题算法简单，时间复杂度为O((N-1)log N)，空间复杂度为O(1)。