生成n位格雷码 | 套装2

简介

格雷码是一种二进制数码系统，其中相邻的数字只有一位二进制数不同。格雷码被广泛应用于数字通信、误差校正、流水线寻址以及计算机内部的运算等领域。该程序通过输入位数 n，生成 n 位的格雷码，输出格雷码序列。

代码实现

def gray_code(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: List[int]
    """
    if n == 0:
        return [0]
    if n == 1:
        return [0, 1]
    res = gray_code(n-1)
    for i in range(len(res)-1, -1, -1):
        res.append(res[i] + (1 << (n-1)))
    return res

使用方法

将以上代码复制到你的代码编辑器中，调用 gray_code 函数即可生成 n 位的格雷码。例如，要生成 3 位的格雷码，只需输入：

gray_code(3)

输出：

[0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4]

思路解析

格雷码是一种递归定义的结构，因此可以采用递归算法来实现。我们可以从 n=1 的格雷码开始，然后通过递归将前一位的格雷码转换成当前位的格雷码。

以 n=3 为例，我们先列出 n=2 时的格雷码（已经通过递归得到）：

00
01
11
10

接下来，我们需要将前一位的格雷码转换成当前位的格雷码。我们可以从后往前遍历前一位的格雷码，依次将前一位的格雷码的第 i 位（从后往前数）取反并添加到当前位的格雷码序列中。例如，我们需要将前一位的格雷码 [00, 01, 11, 10] 转换成当前位的格雷码，从后往前遍历得到：

10
11
01
00

对于每个格雷码，我们将其转换成十进制数后加上 $2^{n-1}$，即 $1$ 左移 $n-1$ 位，然后将结果添加到当前位的格雷码序列中。例如，我们需要将第 2 个格雷码（$11$）转换成十进制数并加上 $2^{3-1}$：

11 -> 3
3 + 2^2 = 7

因此，第 2 个格雷码对应的十进制数为 $7$。

时间复杂度

由于生成 n 位的格雷码需要依次生成 n-1 位、n-2 位、…、1 位的格雷码，因此时间复杂度为 $O(2^n)$。

空间复杂度

生成 n 位的格雷码序列共计 $2^n$ 个数，因此空间复杂度为 $O(2^n)$。

参考资料

1. 格雷码 - 维基百科
2. LeetCode 89. Gray Code