莱文测试

Levene检验用于评估两个不同样本之间方差的相等性。对于每种情况，它都会计算该情况的值与其单元均值之间的绝对差，并对这些差执行单向方差分析(ANOVA)

假设条件

• 来自所考虑人群的样本是独立的。
• 所考虑的人口大致呈正态分布。

如何进行Levene的测试

• Levene检验的零假设是各组之间的方差相等。

$H_0 : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \sigma_{3}^{2} ... = \sigma_{n}^{2}$

• 另一种假设是，不同组之间的方差不相等(对于至少一对，方差不等于其他方差)。

$H_A : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2} \neq \sigma_{3}^{2} ... \neq \sigma_{n}^{2}$

• 莱文测试的测试统计数据是：

$W = \frac{\left ( N - k \right )\sum_{i=1}^{K}N_{i} \left ( Z_{i} - Z.. \right )^2}{ \left ( K-1 \right )\sum_{i=1}^{K} \sum_{j=1}^{N_i}\left ( Z_{ij}- Z_i \right )^2}$

• 在哪里，
  • k：样本案例所属的不同组的数量。
  • N _i ：不同组中元素的数量。
  • N：所有组中的病例总数

$Z_{ij} = \begin{Bmatrix} \left | Y_{ij} - \bar{Y_i} \right |, \bar{Y_i} \, is \, the \, mean \, of \, the \, i^{th} \, group \\ \left | Y_{ij} - \tilde{Y_i} \right |, \tilde{Y_i} \, is \, the \, median \, of \, the \, i^{th} \, group \end{Bmatrix}$

• 在哪里，
  • Y _ij ：第j^个案例和^第i个群组的值。

$Z_i. = \frac{1}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij} \, where \, Z_{ij} \,is \, the\, mean \, of \, for \, group \, i$$Z_{..} = \frac{1}{N_i}\sum_{i=1}^{K}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij} \, where \, Z_{ij} \,is \, the\, mean \, of \, all.$

• Levene的统计信息有3种类型
  • 如果像柯西分布这样的分布具有更长的尾部分布，则我们使用修整后的均值。
  • 对于偏斜分布，如果分布不明确，我们将使用中位数进行检验统计。
  • 对于对称分布和中尾分布，我们使用平均值进行分布。
• 确定重要性级别(alpha)。通常，我们将其取为0.05。
• 在F分布表中找到给定显着性水平，(Nk)和(k-1)参数的临界值。
  • 如果W> F _{∝，k-1，Nk，}则我们拒绝原假设。
  • 否则，我们不会拒绝原假设。

例子：

• 假设有2组学生在数学测试中包含他们的分数，如下所示：

Group 1	Group 2
14	34
34	36
16	44
43	18
45	42
36	39
42	16
43	35
16	15
27	33

• 在这里，我们的原假设被定义为：

$H_0 : \sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$

• 另一个假设是

$H_A : \sigma_{1}^{2} \neq \sigma_{2}^{2}$

• 我们的重要程度是：

$\alpha = 0.05$

• 现在，使用上面的公式计算测试统计量

	Group 1	Group 2	G1 (Y) : (Xi – Mean)	G2 (Z) : (Xi – Mean)	(Yi– meanVar)2	(Zi– meanVar)2
	14	34	2.8	17.6	49	60.84
	34	36	4.8	2.4	25	54.76
	16	44	12.8	15.6	9	33.64
	43	18	13.2	11.4	11.56	2.56
	45	42	10.8	13.4	1	12.96
	36	39	7.8	4.4	4	29.16
	42	16	15.2	10.4	29.16	0.36
	43	35	3.8	11.4	36	2.56
	16	15	16.2	15.6	40.96	33.64
	27	33	1.8	4.6	64	27.04
Average	31.6	31.2	8.92	10.68

• 其中，meanVar是，

$meanVar = \frac{10 * 8.92 + 10 * 10.68}{20}$

• 和k-1 =组-1的数量= 1
• Nk ＝ 20-2 ＝ 18。
• 通过使用以下参数求解测试统计信息

$W = \frac{18* 15.488}{1* 511.712}$$W = 0.54481$

• 由于W 0.05,1,19 ，因此我们不拒绝原假设。

放大方式：

from scipy.stats import levene
# define groups
group_1 = [14, 34, 16, 43, 45, 36, 42, 43, 16, 27]
group_2 = [34, 36, 44, 18, 42, 39, 16, 35, 15, 33]
  
# define alpha
alpha =0.05 
# now we pass the groups and center value from the following
# ('trimmed mean', 'mean', 'median')
w_stats, p_value =levene(group_1,group_2, center ='mean')
  
if p_value > alpha :
  print("We do not reject the null hypothesis")
else:
  print("Reject the Null Hypothesis")

We do not reject the null hypothesis