功能依赖和属性闭包

功能依赖

如果两个具有相同属性 A 值的元组也具有相同属性 B 值，则关系中的函数依赖 A->B 成立。 例如，在表 1 中的关系 STUDENT 中，函数依赖

STUD_NO->STUD_NAME, STUD_NO->STUD_PHONE hold

但

STUD_NAME->STUD_ADDR do not hold

如何找到关系的函数依赖?

关系中的函数依赖依赖于关系的域。考虑表 1 中给出的 STUDENT 关系。

• 我们知道 STUD_NO 对每个学生来说都是独一无二的。所以 STUD_NO->STUD_NAME、STUD_NO->STUD_PHONE、STUD_NO->STUD_STATE、STUD_NO->STUD_COUNTRY 和 STUD_NO -> STUD_AGE 都为真。
• 类似地， STUD_STATE->STUD_COUNTRY 将为真，就好像两条记录具有相同的 STUD_STATE，它们也将具有相同的 STUD_COUNTRY。
• 对于关系 STUDENT_COURSE，COURSE_NO->COURSE_NAME 将为真，因为具有相同 COURSE_NO 的两条记录将具有相同的 COURSE_NAME。

函数依赖集：关系的函数依赖集或 FD 集是关系中存在的所有 FD 的集合。例如，表 1 所示的关系 STUDENT 的 FD 集为：

{ STUD_NO->STUD_NAME, STUD_NO->STUD_PHONE, STUD_NO->STUD_STATE, STUD_NO->STUD_COUNTRY, 
  STUD_NO -> STUD_AGE, STUD_STATE->STUD_COUNTRY }

属性闭包：属性集的属性闭包可以定义为可以从功能上确定的属性集。

如何找到属性集的属性闭包?
要查找属性集的属性闭包：

• 将属性集的元素添加到结果集。
• 递归地将元素添加到结果集中，这些元素可以从结果集的元素功能上确定。

使用表 1 的 FD 集，可以确定属性闭包为：

(STUD_NO)+ = {STUD_NO, STUD_NAME, STUD_PHONE, STUD_STATE, STUD_COUNTRY, STUD_AGE}
(STUD_STATE)+ = {STUD_STATE, STUD_COUNTRY}

如何使用属性闭包找到候选键和超级键?

• 如果一个属性集的属性闭包包含关系的所有属性，则该属性集将是该关系的超级键。
• 如果该属性集的任何子集都不能在功能上确定关系的所有属性，则该集也将是候选键。例如，使用表 1 的 FD 集，

(STUD_NO, STUD_NAME)+ = {STUD_NO, STUD_NAME, STUD_PHONE, STUD_STATE, STUD_COUNTRY, STUD_AGE}

(STUD_NO)+ = {STUD_NO, STUD_NAME, STUD_PHONE, STUD_STATE, STUD_COUNTRY, STUD_AGE}

(STUD_NO, STUD_NAME) 将是超级键但不是候选键，因为它的子集 (STUD_NO)+ 等于关系的所有属性。因此， STUD_NO 将是候选键。

门问题：考虑关系方案 R = {E, F, G, H, I, J, K, L, M, M} 和函数依赖集 {{E, F} -> {G}, {F } -> {I, J}, {E, H} -> {K, L}, K -> {M}, L -> {N} 在 R 上。R 的键是什么? (GATE-CS-2014)
A. {E, F}
B. {E, F, H}
C. {E, F, H, K, L}
D. {E}

答案：找到所有给定选项的属性闭包，我们得到：
{E,F}+ = {EFGIJ}
{E,F,H}+ = {EFHGIJKLMN}
{E,F,H,K,L}+ = {{EFHGIJKLMN}
{E}+ = {E}
{EFH}+ 和 {EFHKL}+ 导致所有属性的集合，但 EFH 是最小的。所以它将是候选键。所以正确的选项是(B)。

如何检查是否可以从给定的 FD 集导出 FD?

要检查是否可以从 FD 集 F 导出 FD A->B，

1. 使用 FD 集 F 找到 (A)+。
2. 如果 B 是 (A)+ 的子集，则 A->B 为真，否则为假。

GATE 问题：在具有属性 A、B、C、D 和 E 的模式中，给出了以下一组函数依赖项
{A -> B, A -> C, CD -> E, B -> D, E -> A}
上面的集合不隐含以下哪个函数依赖? (门 IT 2005)
A. CD -> AC
B. BD -> CD
C. BC -> CD
D. AC -> BC

答案：使用问题中给出的 FD 集，
(CD)+ = {CDEAB} 这意味着 CD -> AC 也成立。
(BD)+ = {BD} 这意味着 BD -> CD 不能成立。所以这个FD并不隐含在FD集合中。所以(B)是必需的选项。
其他的可以用同样的方法检查。

素数和非素数属性

作为关系的任何候选键的一部分的属性称为主要属性，其他的称为非主要属性。例如，STUDENT 关系中的 STUD_NO 为素数属性，其他为非素数属性。

GATE 问题：考虑一个关系方案 R = (A, B, C, D, E, H)，其中以下函数依赖成立：{A–>B, BC–> D, E–>C, D–>A }. R的候选键是什么? [门 2005]
(a) AE、BE
(b) AE、BE、DE
(c) AEH、BEH、BCH
(d) AEH、BEH、DEH

答案： (AE)+ = {ABECD} 这不是所有属性的集合。所以AE不是候选键。因此选项A和B是错误的。
(AEH)+ = {ABCDEH}
(BEH)+ = {BEHCDA}
(BCH)+ = {BCHDA} 这不是所有属性的集合。所以 BCH 不是候选密钥。因此选项C是错误的。
所以正确答案是D。