使用函数依赖查找属性闭包和候选键

在关系型数据库中，函数依赖、属性闭包和候选键是非常重要的概念。理解这些概念可以帮助我们设计正确的数据库结构，避免数据冗余和不一致，提高数据访问效率。

函数依赖

函数依赖是指一个或多个属性的值决定另一个属性的值。比如，如果A属性的值决定了B属性的值，我们可以表示为A→B。这里的箭头表示函数依赖符号。

我们可以利用函数依赖来计算属性的闭包，也可以借此找到候选键。

属性闭包

属性闭包是指从给定属性集合中推导出的所有属性集合。也就是说，如果我们知道了属性集合A，那么我们可以利用函数依赖来计算出属性闭包B。B包含了所有可以从A中推导出的属性。

属性闭包的计算可以使用Armstrong公理来实现，Armstrong公理是指在关系模型中任何一个关系都有以下三条基本规则：

1. 自反律：如果X属于Y，则Y→X；
2. 增量律：如果X→Y，那么XZ→YZ；
3. 传递律：如果X→Y，Y→Z，则X→Z。

借助这些规则，我们可以方便地计算属性闭包。下面是一个例子：

给定关系R(A, B, C, D)，函数依赖集合F={A→BC, B→AD, CD→E}，我们要计算属性集合{A}的闭包。

根据自反律，我们可以得到A→A。接下来，根据增量律和传递律，我们可以得到A→AB、A→ABC。因为B→AD，所以根据传递律，我们可以得到A→ABD、A→ABCD。因为CD→E，所以根据传递律，我们可以得到A→ABCDCE。

最终，{A}的闭包是{A, B, C, D, E}。

候选键

候选键是指可以唯一确定一个元组的属性集合。如果一个关系有多个候选键，那么它们的属性集合是相同的。

借助函数依赖和属性闭包，我们可以方便地找到关系的候选键。具体步骤如下：

1. 对于给定关系，假设关系的属性集合为R，函数依赖集合为F；
2. 枚举所有R属性的子集，计算出它们的闭包；
3. 如果某个闭包包含所有的R属性，那么它就是候选键。

例如，对于关系R(A, B, C, D)，函数依赖集合F={AB→C, BC→D, CD→A}，我们可以得到以下属性集合的闭包：

• {A}的闭包是{A, B, C, D};
• {B}的闭包是{B, D};
• {C}的闭包是{C, D, A};
• {D}的闭包是{D}。

因为{A}的闭包包含所有的属性，所以{A}是一个候选键。