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📜  数学中的 Surd 和指数

📅  最后修改于: 2021-09-28 09:31:25             🧑  作者: Mango

苏德：
设 x 是一个有理数(即可以用 p/q 形式表示，其中 q ≠ 0)，n 是任何正整数，使得 x 1/n = n √x 是无理数(即不能用 p/q 表示形成其中 q ≠ 0)，那么n √x 被称为 n 阶 surd。

例子 – 

√2, √29, etc.

√2 = 1.414213562…，不终止，不重复，所以√2是无理数。并且√2= 2 1/2 ，其中n=2，因此√2 是一个surd。简单来说，surd是一个数，其幂是违规的，不能完全解决(即我们不能得到一个有理数)。

指数：

  • 它也被称为幂或指数。
  • X p ，其中 x 是基数，p 是 x 的幂(或索引)。其中 p, x 可以是任何十进制数。

例子 –
假设一个数 2 3 = 2×2×2= 8，那么 2 是基数，3 是索引。

  • 一个数的指数表示一个数与其自身相乘的次数。
  • 它们用于表示根、分数。

surds的规则：
当一个 surd 乘以一个有理数时，它被称为混合 surd。

例子 –
2√2，其中2是有理数，√2是有理数。这里规则中使用的 x, y 是十进制数，如下所示。

S.No. Rules for surds   Example
1. n √x = x1/n  √2 = 21/2
2. n√(x ×y) =n √x × n √x                                    √(2×3)= √2 × √3 
3. n√(x ÷y)=n √x ÷ n √y 3√(5÷3) =  3√5 ÷ 3√3
4. (n √x)n = x (√2)2 = 2
5. (n√ x)m =  n√(x m)     (3√27)2  =  3√(272) = 9
6. m√(n√ x) = m × n √x  2√(3√729)=  2×3√729 = 6√729 = 3 

指数规则：

S.No. Rules for indices Example
1. x0 = 1                                              20 = 1
2 x m × x n = x m +n 22 ×23= 25 = 32  
3 x m ÷ x n  = x m-n 23 ÷ 22 = 23-2 = 2 
4 (x m)n = x m ×n   (23)2 = 23×2 = 64
5 (x × y)n = x n × y n (2 × 3)2= 22 × 32 =36 
6 (x ÷ y)n = x n ÷ y n (4 ÷ 2) 2=  42 ÷ 22 = 4   

其他规则：
一些其他规则用于解决 surds 和索引问题，如下所示。 

// From 1 to 6 rules covered in table.
7) x m = x n then m=n and a≠ 0,1,-1.
8) x m = y m then 
   x = y if m is even 
    x= y, if m is odd

基于surds和指数的基本问题：

问题 1 ：
以下哪个是苏德? 

a)  2√36              b)  5√32      c)  6√729          d) 3√25

解决方案 –
一个答案是 选项(d) 

Explanation -
3√25= (25)1/3 = 2.92401773821... which is irrational So it is surd.

问题2 ：
找出√√√3

a)  31/3  b) 31/4   c)   31/6   d)  31/8

解决方案 –
答案是一个选项 (d) 

Explanation -
 ((3 1/2)1/2) 1/2)  = 31/2 × 1/2 ×1/2 = 3 1/8 according to rule number 5 in indices.

问题 3：
如果 (4/5) 3 (4/5) -6 = (4/5) 2x-1 ，则 x 的值为

a) -2          b)2         c) -1          d)1

解决方案 –
答案是选项(c) 

Explanation - 
LHS = (4/5)3 (4/5)-6=   (4/5)3-6 = (4/5)-3  
RHS = (4/5)2x-1
According to question LHS = RHS 
⇒ (4/5)-3 = (4/5)2x-1
⇒ 2x-1 = -3
⇒ 2x = -2
⇒  x = -1

问题 4： 

34x+1 = 1/27, then x is

解决方案 – 

34x+1 = (1/3)3
⇒34x+1 = 3-3
⇒4x+1 = -3
⇒4x= -4  
⇒x = -1

问题 5：
在 2 1/12, 3 1/72 , 4 1/24 ,6 1/36 中找出最小的。

解决方案 –
答案是 3 1/72

解释 –
由于所有数字的指数都是违规的，因此将每个指数乘以所有指数的 LCM。所有数字的 LCM 都是 72。 

2(1/12 × 72) = 26 = 64
3(1/72 ×72) = 3
4(1/24 ×72) = 43 = 64
6 (1/36 ×72) = 62 = 36

问题 6：
2 400, 3 300 ,5 200 ,6 200 中最大。 

a) 2400   b)3300    c)5200      d)6200

解决方案 –
答案是一个选项 (d)

解释 –
由于每个数的幂都很大，比较起来非常困难，因此我们将每个指数除以一个公因数(即取每个指数的HCF)。 

The HCF of all exponents is 100.
2400/100 = 24 = 8.
3300/100 = 33 = 27  
5200/100 = 52 = 25
6200/100= 62 =  36
So 6200 is largest among all.