数学 |命题等价

介绍
如果两个逻辑表达式在所有情况下都具有相同的真值，则称它们是等价的。有时，这个事实有助于通过用另一个等价表达式替换一个表达式来证明数学结果，而不会改变原始复合命题的真值。

基于真值的命题类型

命题按真值分类可分为三类
1. 重言式——始终为真的命题称为重言式。
2. 矛盾——总是错误的命题称为矛盾。
3. 偶然性——既不是同义反复也不是矛盾的命题称为偶然性。

例子，

1. $p \vee \neg p$是同义反复。 2. $p \wedge \neg p$是矛盾的。 3. $p \vee q$是一种意外。

逻辑等价的定义
正式地，
两个命题$p$和$q$被称为逻辑等价，如果$p \leftrightarrow q$是一个重言式。符号$p\equiv q$用于表示$p$和$q$在逻辑上是等价的。
证明两个命题在逻辑上等价的一种方法是使用真值表。给定命题的所有组合的真值表必须相同才能等价。但是这种方法并不总是可行的，因为命题在使用的命题变量的数量和表达式的大小方面可能越来越复杂。
在这种情况下，需要有更好的方法来证明两个给定的命题在逻辑上是等价的。更好的方法是构造一个数学证明，它使用已经建立的逻辑等价来构造更多更有用的逻辑等价。
下表列出了一些基本的已建立的逻辑等价-

$\begin{tabular}{ ||c||c|| } \hline Equivalence & Name of Identity\\ \hline \hline p\wedge T \equiv p & Identity Laws\\ p\vee F \equiv p & \\ \hline p\wedge F \equiv F & Domination Laws\\ p\vee T \equiv T & \\ \hline p\wedge p \equiv p & Idempotent Laws\\ p\vee p \equiv p & \\ \hline \neg(\neg p) \equiv p & Double Negation Law\\ \hline p\wedge q \equiv q\wedge p & Commutative Laws\\ p\vee q \equiv q\vee p & \\ \hline (p\wedge q) \wedge r\equiv p\wedge (q \wedge r) & Associative Laws\\ (p\vee q) \vee r\equiv p\vee (q \vee r) & \\ \hline p\wedge (q \vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r) & Ditributive Laws\\ p\vee (q \wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r) & \\ \hline \hline \neg(p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q & De Morgan's Laws\\ \neg(p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q & \\ \hline p\wedge (p \vee q)\equiv p & Absorption Laws\\ p\vee (p \wedge q)\equiv p & \\ \hline p\wedge \neg p \equiv F & Negation Laws\\ p\vee \neg p \equiv T & \\ \hline \end{tabular}$

上述逻辑等价只使用了连词、析取和否定。使用条件和双条件的其他逻辑等价是-

$\begin{tabular}{ ||c|| } \hline p\rightarrow q \equiv \neg p\vee q \\ p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow \neg p \\ p\wedge q \equiv \neg(q\rightarrow \neg p)\\ (p\rightarrow q)\wedge (p\rightarrow r) \equiv p\rightarrow (q\wedge r)\\ (p\rightarrow r)\wedge (q\rightarrow r) \equiv (p\vee q)\rightarrow r\\ (p\rightarrow q)\vee (p\rightarrow r) \equiv p\rightarrow (q\vee r)\\ (p\rightarrow r)\vee (q\rightarrow r) \equiv (p\wedge q)\rightarrow r\\ \hline \end{tabular} \quad \begin{tabular}{ ||c|| } \hline p\leftrightarrow q \equiv (p\rightarrow q) \wedge (q\rightarrow p) \\ p\leftrightarrow q \equiv \neg p \leftrightarrow \neg q \\ p\leftrightarrow q \equiv (p\wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q) \\ \neg (p\leftrightarrow q) \equiv p\leftrightarrow \neg q\\ \hline \end{tabular}$

例子，
显示$\neg (p\rightarrow q) \equiv p\wedge \neg q$ .

考虑到 LHS，

    $\begin{align*} \neg (p\rightarrow q) &\equiv \neg(\neg p \vee q) && \text Using\:first\:equivalence\:of\:Conditionals\\ &\equiv \neg(\neg p) \wedge \neg q&& \text Using\:De\:Morgan's\:law\\ &\equiv p\wedge \neg q&& \text Using\:Double\:negation\:law \end{align}$

另一个例子，
显示$\neg(p\vee (\neg p \wedge q)) \equiv \neg p \wedge \neg q$ .

考虑到 LHS，

    $\begin{align*} \neg(p\vee (\neg p \wedge q)) &\equiv \neg p \wedge \neg(\neg p \wedge q) && \text Using\:De\:Morgan's\:law\\ &\equiv\neg p \wedge (\neg(\neg p) \vee \neg q)&& \text Using\:De\:Morgan's\:law\\ &\equiv\neg p \wedge (p \vee \neg q)&& \text Using\:Double\:negation\:law\\ &\equiv(\neg p \wedge p)\vee (\neg p \wedge \neg q)&& \text Using\:Distributive\:law\\ &\equiv F \vee (\neg p \wedge \neg q) && \text Using\:Negation\:Law\\ &\equiv \neg p \wedge \neg q && \text Using\:Identity\:Law \end{align}$

使用真值表可以轻松解决上述示例。但这只能对具有少量命题变量的命题进行。当变量数量增加时，真值表方法变得不切实际。
对于具有 20 个变量的命题， $2^{20}$必须在真值表中评估行。这对计算机来说可能很容易，但即使是计算机在计算具有 1000 个变量的命题的真值表时也会失败。

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。
1. GATE CS 2008，问题 33
2. GATE CS 2014 Set-2，问题 63
3. GATE CS 2006，问题 27
4. GATE CS 2015 Set-3，问题 65

参考，
逻辑等价 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen