数学陪集

陪集是数学群的子集，由群的固定元素乘以给定子群的每个元素所获得的所有乘积组成，无论是在右边还是左边。mCosets 是研究群的基本工具

假设如果A是群，而B A子群，并且是A的元素，那么

aB = {ab : b an element of B } is left coset of B in A,

的左侧陪集B在A是子集A形式的aB一段a (的元素A )。在aB (左陪集)中， a代表陪集。

和

Ba = {ba : b an element of B } is right coset of B in A.

A B的右陪集是形式Ba A的子集，用于某些a ( A元素)。在右陪集Ba ，元素a被称为陪集的代表。

映射aB -> (aB)' = Ba'映射定义了左陪集和B的右陪集之间的双射，因此左陪集的总数等于右陪集的总数。公共值称为A B索引。

在阿贝尔分组的情况下，左陪集和右陪集总是相同的。如果组运算被加法写入，则使用的符号会切换到a+B或B+a

使用等价类的定义：
A B的左陪集定义为在A等价关系下x ~ y给出的等价类，当且仅当给定B x'y子集。关系也可以用x ~ y来描述，当且仅当xb = y B被描述为某个b 。可以看出，给定关系只是一个等价关系，两个概念是相同的。因此，两个左B in- A陪集要么是等价的，要么是不相交的。 A每个元素都属于单个左陪集，因此左陪集形成A分区。对权利陪集的类似主张也是有效的。

双陪集：
如果A是基团， B和C是亚A ，然后在A的双陪集B和C是一组BaC = { bac ： b的元素B ， c的元素B }。 B =1 和C =1，它们分别C左陪B右陪集。

符号：
假设A是群， B和C A子群。

• ${\displaystyle A/B}{\displaystyle A/B}$表示${\displaystyle \{aB:a\in A\}}{\displaystyle \{aB:a\in A\}}$ A B的左陪集集。
• ${\displaystyle B\backslash A}{\displaystyle B\backslash A}$表示${\displaystyle \{Ba:a\in A\}}{\displaystyle \{Ba:a\in A\}}$ A B的右陪集集。
• ${\displaystyle C\backslash A/B}{\displaystyle C\backslash A/B}$表示${\displaystyle \{CaB:a\in A\}}{\displaystyle \{CaB:a\in A\}}$ A B和C的双陪集集。

应用：

1. 在计算群论中，陪集是必不可少的。
2. 陪集在拉格朗日定理中起着关键作用。
3. 用于求解魔方的 Thistlethwaite 算法高度基于陪集。
4. 使用陪集对获得的解码数据进行线性纠错。
5. 它们用于构建 Vitali 集，一种不可测量的包。