正则语言的闭包属性

正则语言的闭包属性被定义为对正则语言进行的某些操作，这些操作保证产生正则语言。闭包是指对一种语言进行某种操作，产生一种与原来操作的“类型”相同的新语言，即正则。

常规语言在以下操作下关闭。

考虑 L 和 M 是常规语言：

1. 克莱恩关闭：
   RS是语言为L，M的正则表达式。R*是语言为L*的正则表达式。
2. 正闭包：
   RS 是一个正则表达式，其语言为 L, M。 $R^+$是一个正则表达式，其语言是$L^+$ .

3. 补充：
   语言 L 的补语(相对于字母表$E$以至于$E^*$包含 L) 是$E^*$ -L。自从$E^*$肯定是正则的，正则语言的补语总是正则的。
4. 反向运算符：
   给定语言 L， $L^R$是反转在 L 中的字符串的集合。
   示例：L = {0, 01, 100};
   $L^R$ ={0, 10, 001}。
   证明：令 E 为 L 的正则表达式。我们展示如何反转 E，以提供正则表达式$E^R$为了$L^R$ .
5. 补充：
   语言 L 的补语(相对于字母表$E$以至于$E^*$包含 L) 是$E^*$ -L。自从$E^*$肯定是正则的，正则语言的补语总是正则的。
6. 联盟：
   设L和M分别为正则表达式R和S的语言。则R+S是语言为(LUM)的正则表达式。
7. 路口：
   设 L 和 M 分别为正则表达式 R 和 S 的语言，则它是语言为 L 交点 M 的正则表达式。
   证明：设 A 和 B 分别是语言为 L 和 M 的 DFA。构造 C，A 和 B 的乘积自动机使 C 的最终状态是由 A 和 B 的最终状态组成的对。
8. 设置差分运算符：
   如果 L 和 M 是常规语言，那么 L 也是 – M = L 中的字符串，但不是 M。

   证明：设 A 和 B 分别是语言为 L 和 M 的 DFA。构造 C，A 和 B 的乘积自动机使 C 的最终状态成为对，其中 A 状态是最终状态，而 B 状态不是。

9. 同态：
   字母表上的同态是一个函数，它为该字母表中的每个符号提供一个字符串。示例：h(0) = ab; h(1) = $E$ .通过 h(a1…an) =h(a1)…h(an) 扩展到字符串。示例：h(01010) = ababab。

   如果 L 是正则语言，并且 h 是其字母表上的同态，则 h(L)= {h(w) | w is in L} 也是正则语言。
   证明：令 E 为 L 的正则表达式。将 h 应用于 E 中的每个符号。结果 R 的语言，E 是 h(L)。

10. 逆同态：设 h 是一个同态，L 是一个语言，其字母表是 h 的输出语言。 $h^-1$ (L) = {w | h(w) 在 L} 中。

注意：还有一些属性，如对称差分运算符、前缀运算符、替换，这些属性在常规语言的闭包属性下是封闭的。

决策属性：
在有限自动机的情况下，几乎所有的性质都是可判定的。

(i) Emptiness 
(ii) Non-emptiness 
(iii) Finiteness 
(iv) Infiniteness 
(v) Membership 
(vi) Equality  

这些解释如下。

(i) 空性与非空性：

• Step-1：从初始状态中选择无法到达的状态并删除它们(删除无法到达的状态)。
• 步骤 2：如果结果机器包含至少一个最终状态，那么有限自动机接受非空语言。
• 第 3 步：如果结果机器不受最终状态的影响，则有限自动机接受空语言。

  (ii) 有限与无限：

  • Step-1：从初始状态中选择无法到达的状态并删除它们(删除无法到达的状态)。
  • 第 2 步：选择无法到达最终状态的状态并删除它们(移除死状态)。
  • 步骤 3：如果生成的机器包含循环或循环，则有限自动机接受无限语言。
  • 步骤 4：如果生成的机器不包含循环或循环，则有限自动机接受无限语言。

  (iii) 会员资格：
  成员资格是验证任意字符串是否被有限自动机接受的属性，即它是否是该语言的成员。

  让 M 是一个有限自动机，它接受字母表上的一些字符串，并且让 ‘w’ 是字母表上定义的任何字符串，如果 M 中存在一个转换路径，它从初始状态开始并在任何最终状态结束，那么字符串’w’ 是 M 的成员，否则 ‘w’ 不是 M 的成员。

  (iv) 平等：
  两个有限状态自动机 M1 和 M2 被称为相等当且仅当它们接受相同的语言。最小化有限状态自动机，最小 DFA 将是唯一的。