包含-排除及其各种应用

在组合数学领域，它是一种用于计算联合集基数的计数方法。根据基本的包含-排除原则：

• 对于 2 个有限集$A_1$和$A_2$ ，它们是通用集的子集，那么$(A_1-A_2), (A_2-A_1)$和$(A_1\bigcap A_2)$是不相交的集合。

• 因此可以说，
  $\left|(A_1-A_2)\bigcup(A_2-A_1)\bigcup(A_1\bigcap A_2)\right| = \left|A_1\right| - \left|A_1\bigcap A_2\right| + \left|A_2\right| - \left|A_1\bigcap A_2\right| + \left|A_1\bigcap A_2\right|$

  $\left|A_1 \bigcup A_2\right| = \left|A_1\right| + \left|A_2\right| -\left|A_1 \bigcap A_2\right|$ .

• 类似地对于 3 个有限集$A_1$ , $A_2$和$A_3$ ,
  $\left|A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3\right| = \left|A_1\right| + \left|A_2\right| + \left|A_3\right| - \left|A_1 \bigcap A_2\right| - \left|A_2 \bigcap A_3\right| - \left|A_1 \bigcap A_3\right|+ \left|A_1 \bigcap A_2 \bigcap A_3\right|$

原则 ：

包含-排除原理说对于任意数量的有限集$A_1, A_2, A_3... A_i$ , 集合的并集由下式给出 = 所有单个集合的大小总和 – 所有 2 组交集的总和 + 所有 3 组交集的总和 – 所有 4 组交集的总和 .. + $(-1)^{i+1}$所有 i-set 交集的总和。

大体上可以说，

$\left|A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3 .. \bigcup A_i\right| = \sum\limits_{1 \leq k \leq i} \left|A_k\right| + (-1)\sum\limits_{1 \leq k_1 \textless k_2 \leq i} \left|A_{k_1} \bigcap A_{k_2}\right| + (-1)^2\sum\limits_{1 \leq k_1 \textless k_2 \textless k_3 \leq i} \left|A_{k_1} \bigcap A_{k_2} \bigcap A_{k_3}\right| .. + (-1)^{i+1}\sum\limits_{1 \leq k_1 \textless k_2 \textless k_3 \textless .. k_i\leq i} \left|A_{k_1} \bigcap A_{k_2} \bigcap A_{k_3} ..\bigcap A_{k_i}\right|$

特性 ：

1. 计算至少满足多个属性之一的元素总数。
2. 它可以防止重复计数的问题。

示例 1：
如图所示，给出了 3 个有限集 A、B 和 C 及其对应的值。计算$\left|A \bigcup B \bigcup C\right|$ .

解决方案 ：
从图中可以看出，相应区域的值是——
$\left|A\right| = 2, \left|B\right| = 2, \left|C\right| = 2, \left|A \bigcap B\right| = 3, \left|B \bigcap C\right| = 3,$
$\left|A \bigcap C\right| = 3, \left|A \bigcap B \bigcap C\right| = 4$

通过应用包含-排除原则，
$\left|A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3\right| = \left|A_1\right| + \left|A_2\right| + \left|A_3\right| - \left|A_1 \bigcap A_2\right| - \left|A_2 \bigcap A_3\right| - \left|A_1 \bigcap A_3\right|+ \left|A_1 \bigcap A_2 \bigcap A_3\right|$
$\left|A_1 \bigcup A_2 \bigcup A_3\right| = 2 + 2 + 2 - 3 - 3 - 3 + 4 = 1$

应用：

• 精神错乱
  确定 n 个对象的乱序(或排列)数，使得没有对象处于其原始位置(如 Hat-check 问题)。
  作为一个例子，我们可以考虑在以下情况下数字的混乱：
  对于 i = 1，紊乱的总数为 0。
  对于 i = 2，乱序总数为 1。这是$2 1$ .
  对于 i = 3，紊乱的总数为 2。这些是$2 3 1$和 3 1 2。