数学 |可能的功能总数

在本文中，我们将讨论如何从一组到另一组查找函数的数量。要了解函数的基础知识，您可以参考：函数的类(内射、满射、双射)。

从一个集合到另一个集合的函数数：设 X 和 Y 是分别具有 m 和 n 个元素的两个集合。在从 X 到 Y 的函数，X 的每个元素都必须映射到 Y 的一个元素。因此，X 的每个元素都有 ‘n’ 个元素可供选择。因此，函数的总数将是 n×n×n.. m 次 = n ^m 。
例如： X = {a, b, c} 和 Y = {4, 5}。从 X 到 Y 的函数可以用图 1 表示。

考虑到 X 的元素映射到 Y 的元素的所有可能性，函数集可以在表 1 中表示。

示例：让我们基于此讨论门问题：

• 一季度。设 X、Y、Z 分别为大小 x、y 和 z 的集合。令 W = X x Y。令 E 为 W 的所有子集的集合。从 Z 到 E 的函数数为：
  (A) z ^2xy
  (B) zx 2 ^xy
  (C) z ^{2x + y}
  (D) 2 ^xyz

  解：由于给定 W = X x Y，W 中的元素数为 xy。由于 E 是 W 的所有子集的集合，因此 E 中的元素数为 2 ^xy 。从 Z(z 个元素的集合)到 E(2 个^xy元素的集合)的函数数量是 2 ^xyz 。所以正确的选项是(D)

• Q2。让 S 表示所有函数 f 的集合：{0,1} ⁴ → {0,1}。用 N 表示从 S 到集合 {0,1} 的函数数。 Log2Log2N 的值为______。
  (一) 12
  (乙) 13
  (三) 15
  (四) 16

  解：如问题所示，S 表示所有函数 f 的集合：{0, 1} ⁴ → {0, 1}。从 {0,1} ⁴ (16 个元素)到 {0, 1} (2 个元素)的函数数是 2 ¹⁶ 。因此，S 有 2 ^{16 个}元素。此外，给定，N 表示从 S(2 ^{16 个}元素)到 {0, 1}(2 个元素)的函数数。因此，N 有 2 ^{2 16 个}元素。计算所需值，

  Log2(Log2 (2 ^{2 16} )) =Log2 ¹⁶ = 16

  因此，正确选项是(D)。

从一组到另一组的 on 函数的数量 –在从 X 到 Y 的 on函数，必须使用 Y 的所有元素。在从 X = {a, b, c} 到 Y = {4, 5} 的函数示例中，表 1 中给出的 F1 和 F2 不在上面。在 F1 中，集合 Y 的元素 5 未使用，而函数F2 中的元素 4 未使用。因此，从 X 到 Y 的 on 函数总数为 6(F3 到 F8)。

• 如果 X 有 m 个元素，Y 有 2 个元素，则 on 函数的数量将为 2 ^m -2。

  说明：从 m 个元素的集合到 2 个元素的集合，函数总数为 2 ^m 。在这些函数中，有 2 个函数不是 on(如果所有元素都映射到 Y 的^第一个元素或所有元素都映射到 Y 的^第二个元素)。因此，onto函数的数量是2 ^m -2。

• 如果 X 有 m 个元素，Y 有 n 个元素，则如果 on 函数的数量是，
  $n^{m}-{n \choose 1}(n-1)^{m} +{ n \choose 2}(n-2^{m})........(-1)^{n-1}{n \choose n-1}1^{m}$

重要笔记 –

• 该公式仅在 m ≥ n 时有效。
• 如果 m < n，则 on 函数的数量为 0，因为不可能使用 Y 的所有元素。

Q3。从集合 X = {1, 2, 3, 4} 到集合 Y = {a, b, c} 的 on 函数(满射函数)的数量是：
(一) 36
(乙) 64
(三) 81
(四) 72

解决方案：使用 m = 4 和 n = 3，on 函数的数量为：
3 ⁴ – ³ C ₁ (2) ⁴ + ³ C ₂ 1 ⁴ = 36。