构建堆的时间复杂度

考虑以下用于构建输入数组 A 的堆的算法。

BUILD-HEAP(A) 
    heapsize := size(A); 
    for i := floor(heapsize/2) downto 1 
        do HEAPIFY(A, i); 
    end for 
END

快速浏览上述算法表明运行时间是$O(nlg(n))$ ，因为每次调用Heapify 都会花费$O(lg(n))$和Build-Heap使得$O(n)$这样的电话。
这个上限虽然正确，但并不是渐近紧的。

我们可以通过观察Heapify的运行时间取决于树 ‘h’ 的高度（等于 lg(n)，其中 n 是节点数）和大多数子树的高度来推导出更严格的界限小的。
当我们沿着树向上移动时，高度“h”会增加。 Build-Heap的第 3 行运行一个循环，从最后一个内部节点 (heapsize/2) 的索引（高度 = 1）到 root(1) 的索引（高度 = lg(n)）。因此， Heapify为每个节点花费不同的时间，即$O(h)$ .

为了找到构建堆的时间复杂度，我们必须知道高度为 h 的节点数。
为此，我们使用这样一个事实，一个大小为 n 的堆最多有$\left \lceil \frac{n}{2^{h+1}} \right \rceil$高度为 h 的节点。

现在为了推导出时间复杂度，我们将构建堆的总成本表示为-

(1)   $\begin{flalign*} T(n) &= \sum_{h = 0}^{lg(n)}\left \lceil \frac{n}{2^{h+1}} \right \rceil * O(h)\\ &= O(n * \sum_{h = 0}^{lg(n)}\frac{h}{2^{h}})\\ &= O(n * \sum_{h = 0}^{\infty}\frac{h}{2^{h}})\\ \end{flalign*}$

步骤 2 使用 Big-Oh 符号的属性忽略天花板函数和常数 2( $2^{h+1} = 2.2^h$ ）。类似地，在第三步中，由于我们使用的是 Big-Oh 符号，因此总和的上限可以增加到无穷大。

无限 GP (x < 1) 的总和

(2)   $\begin{align*} \sum_{n = 0}^{\infty}{x}^{n} = \frac{1}{1-x} \end{align*}$

两边微分并乘以x，我们得到

(3)   $\begin{align*} \sum_{n = 0}^{\infty}n{x}^{n} = \frac{x}{(1-x)^{2}} \end{align*}$

将（3）中得到的结果放回到我们的推导（1）中，我们得到

(4)   $\begin{flalign*} &= O(n * \frac{\frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2})\\ &= O(n * 2)\\ &= O(n)\\ \end{flalign*}$

因此证明构建二叉堆的时间复杂度为$O(n)$ .

参考 ：
http://www.cs.sfu.ca/CourseCentral/307/petra/2009/SLN_2.pdf

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