给定总和的最大大小子集

问题描述

给定一个整数数组和一个目标和，从中选取一些数字，使得它们的和等于目标和，且所选数字的个数最多。求这个最大大小子集。

解法

动态规划

定义一个二维数组 $dp$，其中 $dp[i][j]$ 表示从原数组的前 $i$ 个元素中选择若干个元素，使它们的和等于 $j$ 时，所得到的最大子集的大小。

如果不选原数组中的第 $i$ 个元素，则状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] $$

如果选原数组中的第 $i$ 个元素，则状态转移方程为：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]] + 1$$

最后的答案即为 $dp[n][sum]$。

def maxSubset(nums, target):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0

    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (target + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 初始化 dp[0][0] 为 1，因为当 target 为 0 时，需要选择空子集
    dp[0][0] = 1

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(target + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            if j >= nums[i - 1] and dp[i - 1][j - nums[i - 1]] > 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + 1)

    return dp[n][target]

回溯算法

回溯算法可以用来求解这个问题的所有解。在回溯算法中，我们保持一个“回答栈”，其中包含当前已经选择的数字，以及当前已经选择的数字的和。对于每个数字，我们都有两种选择：将其加入子集中，或者不将其加入子集中。

不断地向回答栈中添加数字，直到数字的总和等于目标和为止。如果我们找到了一个子集，那么它的大小等于回答栈的大小，这将是一个合法的解。如果数字的总和已经大于目标和，或者我们已经选择了所有的数字，那么我们就需要回溯并尝试其他的选择。

def maxSubset(nums, target):
    if not nums:
        return 0
    
    n = len(nums)
    res = 0
    
    def backtrack(start_idx, cur_sum):
        nonlocal res
        if cur_sum == target:
            res = max(res, len(nums[:start_idx]))
            return
        
        if cur_sum > target or start_idx == n:
            return
        
        # 不选当前元素
        backtrack(start_idx + 1, cur_sum)
        
        # 选当前元素
        backtrack(start_idx + 1, cur_sum + nums[start_idx])
        
    backtrack(0, 0)
    return res