使用回溯具有给定总和的最大大小子集

在计算机科学中，回溯（backtracking）是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有的解的算法。常常用于解决计算棘手问题，比如对未知数量的盘子进行塔汉诺式移动问题、或在井字棋或扫雷游戏中寻找所有的解。

其中一个应用就是找到拥有给定总和的最大大小子集。

算法思路

1. 先将要求子集的数组从大到小排序，这样在搜索过程中可以先搜索大的数，如果不能满足条件就进行回溯。
2. 从大到小搜索每个数，如果该数已经大于所需的总和继续搜索下一个数。
3. 如果还没有找到满足条件的子集，就把搜索的指针移动到下一个数，并将当前数加入已选集合。
4. 在递归的时候，如果当前选中的数字使得当前集合的和为目标值，就将当前集合存储下来，回溯到上一层，尝试其他可能的组合。如果当前数字加上当前集合的和超过目标值，也回溯到上一层。
5. 回溯完所有可能的组合，将所有可能的组合中最大的集合返回。

代码示例

def backtrack(nums, target):
    nums = sorted(nums, reverse=True)
    res = []
  
    def dfs(start, path, cur_sum):
        if cur_sum == target:
            res.append(path[:])
            return 
        for i in range(start, len(nums)):
            if cur_sum + nums[i] > target:
                continue
            path.append(nums[i])
            dfs(i+1, path, cur_sum+nums[i])
            path.pop()
        return

    dfs(0, [], 0)
    # 找到满足条件的路径中长度最大的一个 
    return max(res, default=[])

复杂度分析

回溯的时间复杂度通常是指数级别的，最坏情况下，所有元素且不超过目标和的到集合中，递归中每个元素都有两个状态，即进入或不进入集合，因此时间复杂度是O(2^n)。

空间复杂度会随着递归的每一步而不断变化。在最坏情况下，存储所有可能的结果需要O(2^n)的空间。