阶乘乘以 n 个零结尾的数字

阶乘是数学中常见的概念，表示从 1 到给定的数之间所有整数的乘积。如果一个阶乘的结果末尾有 n 个零，那么我们就称它为“阶乘乘以 n 个零结尾的数字”。本文将介绍如何计算并编程实现这个数。

如何判断一个数末尾有多少个零？

在计算阶乘乘以 n 个零结尾的数字之前，我们需要先知道如何判断一个数末尾有多少个零。这里介绍一个简单的方法：一个数末尾有几个零，就相当于它能被多少个 10 整除。而 10 又可以分解为 2 和 5 的乘积，因此一个数末尾有几个零，就相当于它能被多少个 2 和 5 整除。显然，偶数中包含有大量的因子 2，因此我们只需要计算一个数能被多少个 5 整除即可。

具体来说，假设一个正整数 N，它能被 5 整除的次数为 k，则 N 的末尾就有 k 个零。N 能被 5 整除的次数为：

k = ⌊N/5⌋ + ⌊N/25⌋ + ⌊N/125⌋ + ...

其中 ⌊x⌋ 表示不大于 x 的最大整数。例如，如果 N=100，那么 k=20，因为 100 能被 5 整除的次数是 20 次（它们分别是 5、10、15、20、...、95、100）。这个方法的时间复杂度为 O(logN)。

如何计算阶乘乘以 n 个零结尾的数字？

对于一个给定的 n，我们需要求出一个最小的数 x，使得 x! 末尾有 n 个零。这里的 x 就是“阶乘乘以 n 个零结尾的数字”。下面给出一种计算 x 的方法。

考虑到末尾有 n 个零的数一定能被 10^n 整除，因此我们只需要寻找一个最小的数 x，使得 10^n 整除 x! 即可。由于 10^n=2^n5^n，因此问题又转化为了找到一个最小的数 x，使得 2^n5^n 整除 x!。

对于 2^n，由于所有偶数都包含因子 2，因此我们只需要计算 x! 中因子 2 的个数，即可知道 2^n 能够被 x! 整除的次数。具体来说，设 f(x) 为 x! 中包含因子 2 的个数，则：

f(x) = ⌊x/2⌋ + ⌊x/4⌋ + ⌊x/8⌋ + ...

同理，对于 5^n，我们只需要计算 x! 中因子 5 的个数。由于每个不小于5的数字都包含因子5，因此我们只需要计算x!中包含数字5、10、15、20、...的个数，即：

g(x) = ⌊x/5⌋ + ⌊x/25⌋ + ⌊x/125⌋ + ...

我们发现 x! 能够被 2^n*5^n 整除，当且仅当 f(x) >= n 且 g(x) >= n。因此我们可以通过二分查找法，不断尝试不同的 x 直到找到一个最小的符合要求的数为止。

下面是一份 Python 代码的实现：

def trailingZeroes(n: int) -> int:
    def f(x):
        count = 0
        while x:
            x //= 2
            count += x
        return count
    
    def g(x):
        count = 0
        while x:
            x //= 5
            count += x
        return count
    
    left, right = 0, 5 * n
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if f(mid) >= n and g(mid) >= n:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    
    return left

总结

阶乘乘以 n 个零结尾的数字是一个数学上有趣的问题，也是面试中常见的考点。本文介绍了如何判断一个数末尾有多少个零以及如何计算阶乘乘以 n 个零结尾的数字。希望本文能对你有所启发，对你的工作和学习有所帮助。