门|门 IT 2006 |问题 17

该问题涉及到在一个有向无环图中找到最长路径的长度。

问题描述

给定一个有向无环图（DAG），图中边的权值为正整数，起点为$s$，终点为$t$，需要找到一条从$s$到$t$的路径，使得路径上所有边的权值之和最大。

解决方案

这是一道经典的动态规划问题。我们可以定义一个数组$f$来记录从起点$s$到每个点的最长路径长度。则对于每个节点$v$，其最长路径长度为：

$$ f\left[v\right] = \max {f\left[u\right]+w\left(uv\right)},\left(u,v\right)\in E $$

其中$w\left(uv\right)$为边$\left(u,v\right)$的权值。

然而，直接使用上述公式来计算最长路径长度会导致时间复杂度高达$O\left(VE\right)$，无法通过本题。

我们可以发现，对于每条边$e=\left(u,v\right)$，其所在的点$u$的最长路径长度要在处理$v$之前已经计算出来，因此可以按照拓扑排序的顺序依次计算每个节点的最长路径长度，这样就不会重复计算了。

因此，本题解决方案的伪代码如下：

1. 对DAG进行拓扑排序。
2. 从起点$s$开始，按照拓扑排序的顺序依次处理每个节点，更新其最长路径长度$f$，直到处理到终点$t$。
3. 返回终点$t$的最长路径长度$f\left[t\right]$。

时间复杂度为$O\left(V+E\right)$。

代码示例

def DAG_longest_path(graph, s, t):
    # 拓扑排序
    sorted_nodes = topological_sort(graph, s)
    # 初始化最长路径长度数组
    f = {node: -float('inf') for node in graph}
    f[s] = 0
    # 按照拓扑排序的顺序依次处理每个节点
    for node in sorted_nodes:
        # 更新每个邻接节点的最长路径长度
        for neighbor, edge_weight in graph[node]:
            f[neighbor] = max(f[neighbor], f[node] + edge_weight)
    # 返回终点的最长路径长度
    return f[t]

其中graph为邻接表表示的有向无环图，拓扑排序可以使用Kahn算法或DFS实现。