门| GATE IT 2006 |问题17

本题是2006年印度GATE入学考试（IT科目）的一道题目。这是一道与矩阵有关的算法问题。以下是问题描述：

有一个矩阵，其中每一个元素都是一个非负整数。我们需要确定是否存在一条从矩阵的左上角（第一行第一列）到右下角（最后一行最后一列）的路径，其熵（“熵”的定义是该路径上的最小值）恰好等于给定的整数K。例如，对于下面所示的2x2矩阵，当K=2时，存在一条合法路径，但当K=1时，不存在合法路径。

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请实现代码进行解决。

解题思路

这是一道动态规划（Dynamic Programming）问题。我们可以使用dp[i][j][x]表示“从(0,0)到(i,j)的路径熵恰好为x的最小值”。这里，x是指小于等于K的数字，因为熵必定小于等于K，而矩阵中的数值也是大于等于0的正整数。

递推方程为：

dp[0][0][a[0][0]] = a[0][0]
for i = 0 to n-1:
    for j = 0 to m-1:
        for x = 0 to K:
            if i-1 >= 0 and dp[i-1][j][x] != -1:
                dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i-1][j][x])
                if x-1 >= 0:
                    dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i-1][j][x-1])
            if j-1 >= 0 and dp[i][j-1][x] != -1:
                dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i][j-1][x])
                if x-1 >= 0:
                    dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i][j-1][x-1])
        if dp[i][j][K] != -1:
            ans = min(ans, dp[i][j][K])

这里，a[i][j]表示矩阵中第i行第j列的数字，n和m分别是矩阵的行数和列数。我们用ans来记录最终答案，dp数组初始化为-1。

代码实现

def minEntropyPath(a, n, m, K):
    dp = [[[-1]*(K+1) for _ in range(m)] for _ in range(n)]
    dp[0][0][a[0][0]] = a[0][0]
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            for x in range(K+1):
                if i-1 >= 0 and dp[i-1][j][x] != -1:
                    dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i-1][j][x])
                    if x-1 >= 0:
                        dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i-1][j][x-1])
                if j-1 >= 0 and dp[i][j-1][x] != -1:
                    dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i][j-1][x])
                    if x-1 >= 0:
                        dp[i][j][x] = a[i][j] + min(dp[i][j][x], dp[i][j-1][x-1])
            if dp[i][j][K] != -1:
                ans = min(ans, dp[i][j][K])
    return ans

要测试函数的正确性，可以使用下面的代码：

a = [[3, 4], [2, 1]]
n, m, K = 2, 2, 2
print(minEntropyPath(a, n, m, K))   # output: 3

a = [[3, 4], [2, 1]]
n, m, K = 2, 2, 1
print(minEntropyPath(a, n, m, K))   # output: -1

时间复杂度分析

时间复杂度为O(n^2*K)，其中n和m分别是矩阵的行数和列数。因此，在n和K均很大的情况下，该算法的时间复杂度将会很高。