计算总和小于 x 的已排序数组中的对

问题描述

给定一个已经排序过的数组和一个数 $x$，请编写一个函数来计算数组中所有元素对的数量（$i,j$）使得 $i\leq j$ 并且 $a_i+a_j < x$，其中 $a_i$ 和 $a_j$ 是数组中的两个元素。

例如：

输入: nums = [2, 7, 11, 15], x = 24

输出: 2

输入数组 $[2,7,11,15]$ 中，元素对 $(2,11)$、$(2,15)$ 满足 $i\leq j$ 且 $a_i+a_j < 24$，因此输出 $2$。

解决方案

我们可以使用双指针来解决这个问题。维护两个指针 $i$ 和 $j$，初始时 $i=0$，$j=n-1$，其中 $n$ 是数组长度。

如果满足 $a_i+a_j < x$，那么说明 $a_i$ 和 $a_{j-1}, a_{j-2}, \ldots, a_{i+1}$ 都可以和 $a_i$ 做配对，因为数组是有序的。因此，我们可以增加这些配对的数量，并将 $i$ 增加 $1$。反之，如果 $a_i+a_j \geq x$，那么说明 $a_i$ 和 $a_j, a_{j-1}, a_{j-2}, \ldots, a_{i+1}$ 都不能做配对，因此将 $j$ 减小 $1$。

重复上述过程，直到 $i \geq j$，这个时候我们就能得到所有满足条件的元素对数量。

代码如下：

def count_pairs_less_than_x(nums, x):
    n = len(nums)
    count = 0
    i, j = 0, n-1
    while i < j:
        if nums[i] + nums[j] < x:
            count += j - i
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return count

该函数的输入是一个已排序的数组 nums 和一个数 x，输出是一个整数，表示所有元素对的数量。

时间复杂度

该函数的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是数组长度，因为我们只需要遍历一遍数组即可。

空间复杂度

该函数的空间复杂度是 $O(1)$，因为我们只需要维护两个指针和一个计数器。