非逻辑门感知器算法的实现

简介

非逻辑门感知器算法是一种机器学习算法，用于分类问题。它是感知器算法的扩展，可以处理非线性问题。

算法原理

感知器算法基于线性二分类模型：一个输入通过一个权重向量乘以自变量取和，再加上偏置，输出经过一个阶跃函数得到类别标签。

$$ y=\mathrm{sgn}(\omega \cdot x + b) $$

其中，$\mathrm{sgn}$ 表示符号函数，$\omega$ 是权重向量，$x$ 是输入，$b$ 是偏置。

非逻辑门感知器算法在此基础上，使用一组非线性函数来替代原先的阶跃函数，使得模型能够处理非线性问题。这些非线性函数通常是多项式函数或者傅里叶级数。

算法流程

1. 初始化权重向量 $\omega$ 和偏置 $b$。
2. 随机选取一小批数据。
3. 将选中的数据代入模型，计算输出 $\hat{y}$。
4. 根据 $\hat{y}$ 和实际标签 $y$ 计算损失函数。
5. 计算损失函数关于权重向量和偏置的梯度。
6. 更新权重向量和偏置。
7. 重复步骤 2-6 直至收敛。

代码实现

以下为非逻辑门感知器算法的 Python 代码实现：

import numpy as np

class NLPerceptron:
    def __init__(self, degree=2, n_features=2, learning_rate=0.1, max_iter=1000):
        self.degree = degree
        self.n_input = n_features
        self.learning_rate = learning_rate
        self.max_iter = max_iter
        self.weights = np.random.randn(self.n_hidden, self.n_input)
        self.bias = np.random.randn(self.n_hidden)
        self.n_output = 1
        self.output_weights = np.random.randn(self.n_output, self.n_hidden)
        self.output_bias = np.random.randn(self.n_output)

    def _activation(self, x, degree):
        if degree == 0:
            return x
        elif degree == 1:
            return np.tanh(x)
        elif degree == 2:
            return np.maximum(0, x)
        elif degree == 3:
            return np.exp(x) / (np.exp(x) + 1)
        elif degree == 4:
            return np.sin(x)
        else:
            raise Exception('Invalid activation')

    def _gradient(self, x, degree):
        if degree == 0:
            return np.ones_like(x)
        elif degree == 1:
            tanh = np.tanh(x)
            return 1 - tanh ** 2
        elif degree == 2:
            if x >= 0:
                return 1
            else:
                return 0
        elif degree == 3:
            sigmoid = np.exp(x) / (np.exp(x) + 1)
            return sigmoid * (1 - sigmoid)
        elif degree == 4:
            return np.cos(x)
        else:
            raise Exception('Invalid activation')

    def _forward(self, x):
        hidden = np.dot(self.weights, x) + self.bias
        hidden = self._activation(hidden, self.degree)
        output = np.dot(self.output_weights, hidden) + self.output_bias
        return self._activation(output, self.degree)

    def _backward(self, x, y, h):
        error = y - h
        grad_output = self._gradient(h, self.degree)
        delta_output = error * grad_output
        grad_hidden = self._gradient(np.dot(self.output_weights.T, delta_output), self.degree)
        delta_hidden = grad_hidden * np.dot(self.output_weights.T, delta_output)
        self.output_weights += self.learning_rate * np.outer(delta_output, self._activation(np.dot(self.weights, x) + self.bias, self.degree))
        self.output_bias += self.learning_rate * delta_output
        self.weights += self.learning_rate * np.outer(delta_hidden, x)
        self.bias += self.learning_rate * delta_hidden

    def fit(self, X, y):
        X = np.array(X)
        y = np.array(y)
        for i in range(self.max_iter):
            idx = np.random.choice(X.shape[0], size=32, replace=False)
            batch_x = X[idx]
            batch_y = y[idx]
            for x, y in zip(batch_x, batch_y):
                h = self._forward(x)
                self._backward(x, y, h)

    def predict(self, X):
        X = np.array(X)
        y_pred = np.zeros(X.shape[0])
        for i in range(X.shape[0]):
            x = X[i]
            y_pred[i] = self._forward(x)
        return y_pred

其中，_activation 方法代表非线性函数，_gradient 方法代表非线性函数关于自变量的导数，_forward 方法代表前向传播，_backward 方法代表反向传播，fit 方法代表训练过程，predict 方法代表预测过程。