假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $是可微函数，而S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，则对于每个$ x_1，f被称为伪凸， x_2 \ in S $中带有$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $，我们有$ f \ left(x_2 \ right)\ geq f \ left( x_1 \ right)$，或者等效地，如果$ f \ left(x_1 \ right)> f \ left(x_2 \ right)$则$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )<0 $

伪凹函数

假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $是可微函数，而S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，则对于每个$ x_1，f被称为伪凸， x_2 \ in S $中带有$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $，我们有$ f \ left(x_2 \ right)\ leq f \ left( x_1 \ right)$，或者等效地，如果$ f \ left(x_1 \ right)> f \ left(x_2 \ right)$则$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )> 0 $

备注

• 如果一个函数既是伪凸面又是伪凹面，则称为伪线性。

• 可微凸函数也是伪凸。

• 伪凸函数可能不是凸的。例如，

  $ f \ left(x \ right)= x + x ^ 3 $不是凸的。如果$ x_1 \ leq x_2，x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

  因此，$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)= \ left(1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right)\ left(x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

  并且$ f \ left(x_2 \ right)-f \ left(x_1 \ right)= \ left(x_2-x_1 \ right)+ \ left(x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right)\ geq 0 $

  $ \ Rightarrow f \ left(x_2 \ right)\ geq f \ left(x_1 \ right)$

  因此，它是伪凸的。

  伪凸函数严格是拟凸的。因此，伪凸的每个局部极小值也是全局极小值。

严格的伪凸函数

假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $是可微函数，而S是$ \ mathbb {R} ^ n $中的非空凸集，则对于每个$ x_1，f被称为伪凸， x_2 \ in S $中带有$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right)\ geq 0 $，我们有$ f \ left(x_2 \ right)> f \ left(x_1 \ right)$，或者等效地，如果$ f \ left(x_1 \ right)\ geq f \ left(x_2 \ right)$，则$ \ bigtriangledown f \ left(x_1 \ right)^ T \ left(x_2-x_1 \ right )<0 $

定理

设f为伪凸函数，并假设$ \ hat {x} \ in S $中的$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= 0 $，则$ \ hat {x} $是全局最优的f对S的解

证明

令$ \ hat {x} $为f的临界点，即$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)= 0 $

由于f是伪凸函数，对于S中的$ x \，我们有

$$ \ bigtriangledown f \ left(\ hat {x} \ right)\ left(x- \ hat {x} \ right)= 0 \ Rightarrow f \ left(\ hat {x} \ right)\ leq f \ left (x \ right)，\ forall x \ in S $$

因此，$ \ hat {x} $是全局最优解。

备注

如果f严格是伪凸函数，则$ \ hat {x} $是唯一的全局最优解。

定理

如果f是S1上微拟凸函数，则f是既严格拟凸和拟凸函数。

备注

• 在$ \ mathbb {R} ^ n $的开放集合S上定义的两个伪凸函数之和可能不是伪凸。

• 假设$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $是一个拟凸函数，而S是$ \ mathbb {R} ^ n $的一个非空凸子集，则当且仅当每个关键点都是一个整体时，f才是伪凸。 f超过S的最小值

• 令S为$ \ mathbb {R} ^ n $的非空凸子集，而$ f：S \ rightarrow \ mathbb {R} $为函数，使得$ \ bigtriangledown f \ left(x \ right)\ neq对于S $中的每个$ x \ 0 $，则f仅在是拟凸函数才是伪凸。