笔分配问题

在编程领域中，笔分配问题是一个著名而经典的数学问题，也是一道经典的搜索算法和动态规划算法题目，它可以帮助程序员提高他们的思维能力和算法分析和设计的能力。

问题描述

假设给定 N 支笔和 N 个袋子，每个袋子只能装下一支笔。现在需要将这 N 支笔放入这些袋子中，使得任意两支相邻的笔颜色都不相同，求共有多少种不同的放置方法。

解决方案

笔分配问题具有明显的动态规划特征，可以使用状态转移方程进行求解。定义 dp[i][j] 表示将前 i 支笔放置在前 j 个袋子中的方案数，那么有：

dp[i][1] = 1, i <= m
dp[2][j] = (j-1)!, i <= m
dp[i][j] = [(j-1)! * (∑ dp[i-1][t])], j > i

其中，m 为两两相邻的笔颜色不同的情况下的最多袋子数量。根据题目可知，最多袋子数量为 3，因此我们可以得到：m = 3。

具体的求解过程可以采用递归或迭代的方式进行，这里就不再赘述。

示例代码

def pen_allocation(n: int):
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 6
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = 1
    for j in range(2, n + 1):
        dp[2][j] = (j - 1)
    for i in range(3, n + 1):
        for j in range(2, i + 1):
            dp[i][j] = (j - 1) * sum(dp[i - 1][k] for k in range(1, j - 1))
    return sum(dp[n][k] for k in range(1, n + 1))

以上就是笔分配问题的一个简单示例代码，供程序员参考和学习。