数组的最长子数组，是另一个数组中的子序列

当我们处理两个数组时，一个常见的问题是判断一个数组的子序列是否是另一个数组的子序列。一个数组的子序列是指从该数组中选择出一些不一定连续的元素组成的新数组，而另一个数组的子序列是指从该数组中选择出一些连续的元素组成的新数组。在这个问题中，我们要找到另一个数组中的一个子序列，它也是某个子数组的子序列，并且该子数组要尽可能长。

解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。设 $dp_{i,j}$ 表示数组 $A$ 中以第 $i$ 个元素结尾，数组 $B$ 中以第 $j$ 个元素结尾的子序列中的最长公共子序列的长度。则有以下状态转移方程：

$$dp_{i,j}=\begin{cases}0,& \text{if }i=0\text{ or }j=0\dp_{i-1,j-1}+1,& \text{if }A_i=B_j\0,& \text{if }A_i\ne B_j\end{cases}$$

其中，当 $i=0$ 或 $j=0$ 时，$dp_{i,j}$ 的值为 $0$，因为我们无法找到一个子数组和一个子序列使得它们的公共子序列非空。

我们可以使用一个变量 $ans$ 记录所有 $dp_{i,j}$ 中的最大值，即为我们要找的答案。

代码实现

def find_length(A: List[int], B: List[int]) -> int:
    n, m = len(A), len(B)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    ans = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if A[i - 1] == B[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                ans = max(ans, dp[i][j])
    return ans

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(nm)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为数组 $A$ 和数组 $B$ 的长度。