MATLAB 中的微积分

微积分在工程、物理和其他科学等不同领域都很重要，但无论是物理还是工程，计算都是由机器或计算机完成的。这里使用的工具是 MATLAB，它是工程师和科学家用于数据分析的编程语言。因此，在本文中，将详细讨论使用 MATLAB 进行微积分。

MATLAB 中的限制

众所周知，微积分的概念始于极限，让我们快速回顾一下极限。我们记得一张图，上面有一个洞，一开始看起来很奇怪，但后来看起来很正常，曾经有一个符号看起来像，它被读作 f(x) 的极限为 x接近某个数字。

在这种情况下，数字是 1。X 越来越接近 1，从图的左侧，我们可以看到并记录 x 接近 1 时的 y 值。

该图表是为了更好的可视化

现在让我们考虑函数f(x)=x^2+x+4，你想找出当 x 接近 4 时的极限。

例子：

Matlab

% MATLAB code for function f(x)=x^2+x+4,
% and find out the limit when x approaches 4
syms x
f = x^2+x+4;
limit(f,x,4)

输出：

现在让我们取一些三角函数，当 x 接近 pi/4 时，函数为 sin(x)-cos(x)/cos2x。

例子：

MATLAB

% MATLAB code for trigonometric functions
% function be sin(x)-cos(x)/cos2x when x = pi/4
syms x
 
f = sin(x)-cos(X)/cos2x;
limit(f,x,pi/4)

输出：

ans =  -1/√2  

MATLAB 中的微分

微分是求函数对变量的导数的过程，导数是指函数对变量的变化率。我们应用微分来找到物理学和其他领域的速度。导数是告诉我们在任意点与曲线相切的直线斜率的函数。在dy/dx中，变量y相对于x 是微分的。让我们看看下面的图表。

有一个斜率和绿线，让我们称之为割线，现在如果我们想找到线的两点之间的距离，我们将使用斜率公式，即m=(y2-y1/x2- x1)。在这种情况下，坐标是 (x, f(x)) 和 (f(x+h),f(x))，斜率将是差商，给定图形，但这只是一个近似值，我们不需要近似值，我们需要一个精确的解决方案，我们需要从割线的起点更接近 x，或者说，我们需要最小化h，我们需要 h 为零并且当 h 为零时并且直线成为曲线的切线，我们取差商的极限。

当给定极限时，这种求导数的方法称为求导数。

让我们看一些关于代数函数导数的例子。

例子：

MATLAB

% MATLAB code for derivatives
% of algebraic function
syms x
f= 3x^2+4x+5;
diff(f)

输出：

如果我们要微分指数函数，那么

例子：

MATLAB

% MATLAB code for derivatives
% of algebraic function
syms y
y = exp(x)*tan(x);
diff(y)

输出：

这里使用乘积规则，即$(vu)'=vu'+uv'$

在 MATLAB 中集成

积分，也叫反导数，负责求曲线下面积，积分的概念可以通过下图来理解

上图有一条曲线，如果我们想求曲线下的面积，那么这里有一个方法，曲线是用矩形填充的，矩形的总和就是曲线的面积，但问题是，有很多空白，我们用 Δx 表示，但我们仍然可以用更多的矩形填充曲线，

正如我们所见，Δx 确实减小了，但是要完全消除它，我们需要更多的矩形，

因此，通过填充足够多的矩形或矩形的宽度接近于零，Δx 变为 dx，我们就有了答案。由于我们已经讨论过积分是逆导数，所以 2x 的积分将是 x^2，而 x^2 的微分将是 2x。现在让我们看一些积分的例子，顺便说一下，积分用∫这个符号表示或表示。

让我们看看如何在 MATLAB 中集成代数表达式

例子：

MATLAB

% MATLAB code for integrate
% an algebraic expression
f=@(x)sin(x)+cos(x);
i=integral(f,0,45)

输出：

让我们看看微积分中的一些高级概念。

向量微积分

向量既有大小又有方向，它有大小，而且肯定会朝某个方向流动，类似地，如果我们走路，它将朝特定方向流动。矢量代数的概念在 STEM 中得到了广泛应用。但是为什么我们需要对向量进行积分或微分，因为在求解偏微分方程，或流体流动，或引力猫时，它是有帮助的，所以如果我们对向量进行积分或微分，我们将 X 轴和 Y 轴分别积分.

向量场的卷曲和散度

Curl and Divergence，也称为麦克斯韦方程、流体流动等的语言；但是为了理解它们，让我们想象一下从某处流动的流体并想象一下电磁场。现在通过使用散度的概念，我们可以找出流体在给定点膨胀的流动，散度是缩放量而不是矢量，因为它定义了流体在某一点膨胀的速率，因为没有参与方向，它是一个标量，要找到向量场在 3 维空间中的散度，我们对场进行偏导运算符（也称为 grad）的点积，数学上，设 F 是向量场在 3-d 空间中，以 x,y,z 为坐标，则向量场的散度为

$div F(x,y,z) = ∇.F or div F(x,y,z) = ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂h/∂z$

在正向发散的情况下，流动是向外的，像膨胀的热气，在负向发散的情况下，考虑冷气被压缩的情况。为了形象化这一概念，想象在气球中填充一些空气，气球会膨胀，这是一个可以形象化正分歧的例子。

现在让我们看看如何在 MATLAB 中找到散度

MATLAB

syms x,y,z
 
field = [x^2 y^3 z^4];
dimensions= [x y z];
divergence(field, dimensions)

输出：

现在让我们看看 Curl 如果我们需要找到一个向量在 3-d 空间中的循环，那么我们将使用 Curl，它是场中每个点的循环密度。假设有一个具有三个维度的向量，那么向量的旋度将为

$[∂P/∂y - ∂N/z]i+[∂M/∂z-∂N/∂x]j+[∂M/∂x -∂P/∂y].$

为了在 MATLAB 中做同样的事情，让我们假设 V 是关于向量 X 的向量场，它们都具有三个维度。令 V =[x^3+y^3+z, y^3+x^3+z, z^3+x^3+y] 且 X = [x,y,z]。

MATLAB

syms x y z
 
V = [x^3+y^3+z, y^3+x^3+z, z^3+x^3+y];
X = [x y z];
curl(V,X)

输出：

卷曲和发散，也称为麦克斯韦电磁方程的语言，一组耦合的偏微分方程以及洛伦兹力定律，形成了电动力学的基础

$∇ x E = ∂B/∂r ∇ X H = ∂D/∂r ∇.D = ρ ∇.H = 0$

其中 E 是电场，B 是磁场，H 是磁场强度，ρ 是电荷密度。

MATLAB 中的梯度

梯度用于定义一条线或斜率上升或下降的剧烈程度，常规的微分方法为我们提供了只有一个变量的函数的变化率，但如果函数有两个变量（如 f(x ,y))，那么梯度的概念就来了，假设函数是

$f(x,y) = 2xsin(y)$

所以 f(x,y) 的梯度将是关于 x 和 y 的偏微分向量形式。

$∇f= [2 sin(y) 2xcos(y)]$

梯度的几何意义

假设你正在爬山，你想知道你想快速到达山顶的路径，或者你只是想绕山（在同一高度，既不上也不上） down)，然后通过使用 Gradient，我们将看到这一点。让我们看看这里的等高线图，

上图是轮廓在 3-d 平面上的 2-d 投影，因此使用梯度的概念并将其绘制出来可以解决这个山问题。

泰勒级数

泰勒级数是整个微积分中最重要的定理之一。为了理解它，让我们考虑函数e^x 在 x=0 时，它是 1，但是我们怎么知道 x 是 0.2 时，我们将近似它，会有一个错误，但它会是一个小错误，但是当 x 等于 1.2 时，误差会很大，让我们看下图

我们看到一个常数函数，但是通过使用近似，我们可以使用线性近似，图形看起来像这样

但是我们可以做得比这更好，实际上，泰勒级数的研究是取非多项式函数并找到接近某个输入的多项式，因为多项式在积分或微分方面是非常友好的函数，所以我们需要在 x=0 附近找到最适合我们的指数图的函数。

x=0 处的多项式函数为T1= x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1。

让我们看看如何在 MATLAB 中进行泰勒逼近

MATLAB

syms x
T1 = taylor(exp(x))

输出：

上面的代码与图中所示的指数函数相同，它将作为输出给出。泰勒近似用于工程领域、统计学、物理学和计算机科学。