一阶逻辑推理

一阶逻辑推理用于从现有句子中推断出新事实或句子。在理解FOL推理规则之前，让我们了解FOL中使用的一些基本术语。

替代：

替代是对术语和公式执行的基本操作。它以一阶逻辑出现在所有推理系统中。在FOL中存在量词的情况下，替换过程很复杂。如果我们写F[a/x]，那么它是指用常量“a”代替变量“x”。

注意：一阶逻辑能够表达有关Universe中某些或所有对象的事实。

平等：

一阶逻辑不仅使用谓词和术语来构成原子语句，还使用另一种方式，即FOL中的相等性。为此，我们可以使用等号来指定两个术语指的是同一对象。

例如：兄弟(约翰)=史密斯。

如上面的示例，兄弟(John)引用的对象类似于Smith的对象。等号也可以与否定符一起使用，以表示两个术语不是同一对象。

示例：￢(x=y)等效于x≠y。

量词的FOL推理规则：

作为命题逻辑，我们在一阶逻辑中也有推理规则，因此以下是FOL中的一些基本推理规则：

• 通用概括
• 通用实例化
• 存在实例化
• 存在介绍

1.通用概括：

• 通用概括是一个有效的推论规则，该规则指出，如果前提P(c)对于话语范围中的任意元素c为真，那么我们可以得出结论∀x P(x)。
• 它可以表示为： 。
• 如果我们要显示每个元素都具有相似的属性，则可以使用此规则。
• 在此规则中，x不得显示为自由变量。

示例：让我们代表P(c)：“一个字节包含8位”，因此对于soxP(x)“所有字节包含8位。”，它也将成立。

2.通用实例化：

• 通用实例化也称为通用消除或UI是有效的推理规则。可以多次应用它以添加新句子。
• 新的KB在逻辑上等效于先前的KB。
• 根据UI， 我们可以推断出用基本术语代替变量而获得的任何句子 。
• UI规则规定，我们可以通过从∀x P(x)代入整个语篇空间中的任何宾语，将基本术语c(域x中的常数)替换为句子P(c)。
• 它可以表示为： 。

范例：1。

如果“每个人都喜欢冰淇淋”=>∀xP(x)，那么我们可以推断出“约翰喜欢冰淇淋”=>P(c)

范例：2。

让我们举一个著名的例子

“所有贪婪的国王都是邪恶的。”因此，让我们的知识库以FOL的形式包含此细节：

∀x王(x)∧贪婪(x)→邪恶(x)，

因此，根据这些信息，我们可以使用通用实例化推断以下任何语句：

• 金(约翰)∧贪婪(约翰)→邪恶(约翰)，
• 国王(理查德)∧贪婪(理查德)→邪恶(理查德)，
• 国王(父亲(约翰))∧贪婪(父亲(约翰))→邪恶(父亲(约翰))，

3.存在实例化：

• 存在实例化也称为存在消除，它是一阶逻辑中的有效推理规则。
• 它只能用于替换现有句子一次。
• 新的KB在逻辑上不等同于旧的KB，但是如果旧的KB是可以满足的，那么它将是可以满足的。
• 该规则指出，对于新的常数符号c，可以从以∃xP(x)形式给出的公式中推断P(c)。
• 此规则的限制是，规则中使用的c必须是P(c)为真的新项。
• 它可以表示为：

例：

从给定的句子中：∃xCrown(x)∧OnHead(x，John)，

因此，我们可以推断出：Crown(K)∧OnHead(K，John)，只要K不出现在知识库中。

• 上面使用的K是一个常数符号，称为Skolem常数 。
• 存在实例化是Skolemization过程的特例 。

4.现有介绍

• 存在性介绍也称为存在性概括，它是一阶逻辑中的有效推理规则。
• 该规则指出，如果话语宇宙中存在某些具有属性P的元素c，那么我们可以推断出宇宙中存在某些具有属性P的元素。
• 它可以表示为：
• 例子：假设
  “ Priyanka的英语成绩很好。”
  “因此，有人用英语打出了很好的分数。”

广义模态规则：

对于FOL中的推理过程，我们有一个单一的推理规则，称为通用化模型Ponens。它是Modusponens的提升版本。

广义模态可以概括为：“P表示Q，并且P断言为真，因此Q必须为真”。

根据ModusPonens的说法，对于原子句子pi，pi’，q。如果存在替换θ使得SUBST(θ，pi’，)=SUBST(θ，pi)，则可以表示为：

例：

我们将使用此规则，因为国王是邪恶的，因此我们将找到一些x，例如x是国王，x是贪婪的，因此我们可以推断出x是邪恶的。

Here let say, p1' is king(John)        p1 is king(x)  
p2' is Greedy(y)                       p2 is Greedy(x)  
θ is {x/John, y/John}                  q is evil(x)  
SUBST(θ,q).