第 n 个加泰罗尼亚数字的PHP程序

加泰罗尼亚数字是一种数列，用Catalan数列表示，它在计算机科学、组合数学和代数结构等领域有广泛应用。本文将介绍用PHP编写第n个加泰罗尼亚数字程序。

加泰罗尼亚数字

加泰罗尼亚数字Cn是指包含n个0和n个1的二进制序列中，合法的括号方案数。例如，C3可以表示如下5种合法的括号方案：

((()))
()()()
()(())
(())()
(()())

程序实现

使用递归实现，参考数学公式：

C_{n+1}=\sum_{i=0}^n C_iC_{n-i}\ (n\ge0)

使用PHP代码实现：

function catalan($n)
{
    if ($n == 0) {
        return 1;
    } else {
        $result = 0;
        for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
            $result += catalan($i) * catalan($n - $i - 1);
        }
        return $result;
    }
}

echo catalan(5); // 输出42

代码解释：

• catalan($n)：计算第n个加泰罗尼亚数字的函数；
• if ($n == 0) { return 1; }：边界条件，当n等于0时返回1；
• else { $result = 0; ... }：递归计算Cn的值；
• for ($i = 0; $i < $n; $i++) { ... }：通过计算C0到Cn-1的积之和，得到Cn的值；
• return $result;：返回Cn的值；
• echo catalan(5);：测试用例，计算第5个加泰罗尼亚数字的值并输出。

总结

本文介绍了用PHP编写第n个加泰罗尼亚数字程序，实现了递归计算加泰罗尼亚数字的函数，并给出了测试用例。加泰罗尼亚数字在计算机科学和组合数学等领域有广泛应用，通过本文的代码实现，我们可以更好地理解加泰罗尼亚数字的含义和应用。