Java程序：显示从 1 到 N 的所有质数

这个Java程序可以找到并显示从1到N的所有质数。所谓“质数”，是指只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5、7、11、13等。

程序功能

输入一个正整数N，程序将输出从1到N之间的所有质数。该程序使用的是最简单有效的算法：试除法。简单的说就是，从2到N-1之间的所有整数，逐个尝试是否能被N整除，如果不能，则N就是质数。

程序实现

import java.util.Scanner;

public class PrimeNumbers {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.print("请输入一个正整数 N：");
        int n = scanner.nextInt();

        System.out.print("1到" + n + "之间的所有质数为：");

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 2; j < i; j++) {
                if (i % j == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if (isPrime) {
                System.out.print(i + " ");
            }
        }
    }
}

代码说明

• 导入Scanner类，以接收用户输入。
• 用户输入一个正整数N。
• 对于从2到N之间的每一个整数i，判断它是否是质数：
  • 从2到i-1之间的每一个整数j，试图将i除以j取模，如果模为0，则说明i不是质数，跳出循环；否则，说明i还可能是质数，继续循环。
  • 如果j循环完毕后，仍然是isPrime=true，说明i是质数，输出i。

效果截图

分析和改进

这个算法的时间复杂度是O(N^2)，空间复杂度是O(1)。对于小规模的N，它是一个简单直接、容易理解的解法。但是对于大规模的N，速度慢、占用内存多的问题就显而易见了。因此，我们需要对程序进行性能分析和优化。

对于这个程序，最容易优化的部分，是从2到i-1之间的整数j的循环。在程序中，我们试图将i除以每一个j，并判断是否能整除。实际上，除数的范围可以被进一步缩小。具体来说：

• 对于任意一个正整数i，它的质因数的个数不会超过log2(i)。
• 因为质因数之间一定不存在倍数关系，所以我们只需要考虑小于或等于√i的质数。

基于这些性质，我们可以将程序代码优化如下：

import java.util.Scanner;

public class PrimeNumbers {

    public static void main(String[] args) {

        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.print("请输入一个正整数 N：");
        int n = scanner.nextInt();

        System.out.print("1到" + n + "之间的所有质数为：");

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 2; j <= Math.sqrt(i); j++) {
                if (i % j == 0) {
                    isPrime = false;
                    break;
                }
            }
            if (isPrime) {
                System.out.print(i + " ");
            }
        }
    }
}

这个版本的程序，时间复杂度是O(N*√N)，空间复杂度依然是O(1)。在实践中，这个版本的程序要比原来的版本快得多。

总结

这个Java程序演示了如何使用最简单有效的算法，来找到从1到N之间的所有质数。虽然该算法的效率低，但对于小规模的N，它是一个简单有效的解法。对于大规模的N，算法的效率可以通过进一步的优化得到提升。