最大路径和输入输出示例

介绍

最大路径和问题是一种经典的计算机科学问题，也被称为最大子序列和问题或者最大连续子序列和问题。这个问题的基本形式是给定一个整数序列，寻找其中和最大的子序列。最大路径和问题则是在一个二维数组中找到一条从左上角到右下角的路径，使得其路径上的元素和最大。

本文将以最大路径和问题为例，介绍一下输入输出示例以及可能的解法。

输入输出示例

输入示例：

[
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9]
]

输出示例：

15

在上述输入示例中，左上角的元素为1，右下角的元素为9。路径上的元素为1-4-7-8-9，其和为15。

解法

最大路径和问题可以使用动态规划算法解决。定义一个二维数组，其中dp[i][j]表示从左上角到(i,j)的路径上的元素和的最大值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

其中grid[i][j]表示第i行第j列的元素值。这个方程的意思是，到达(i,j)的最大路径和等于(i-1,j)和(i,j-1)中的较大值，加上当前元素的值。这里需要注意边界情况，即当i或j为0时，dp[i-1][j]或dp[i][j-1]不存在，应该特殊处理。

最后，dp[m-1][n-1]就是从左上角到右下角的路径上的元素和的最大值。

参考代码如下：

def maxPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    return dp[m-1][n-1]

上面这个算法的时间复杂度为O(mn)，空间复杂度也是O(mn)。当然，我们可以对空间进行优化，只使用一维数组来存储dp值。这样可以将空间复杂度降到O(n)。

def maxPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [0] * n
    dp[0] = grid[0][0]
    for j in range(1, n):
        dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]
    for i in range(1, m):
        dp[0] += grid[i][0]
        for j in range(1, n):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]
    return dp[n-1]

总结

最大路径和问题是一个经典的计算机科学问题，可以使用动态规划算法解决。通过定义二维数组来存储中间状态，可以求得从左上角到右下角的路径上的元素和的最大值。值得注意的是，在状态转移方程中应该特殊处理边界情况。此外，还有一种优化空间的实现方法，使用一维数组来存储dp值。