最大范围长度问题

问题描述

给定一个长度为 N 的数组 A，以及 Q 个询问，每个询问包含两个整数 L 和 R，表示一个区间 [L, R]。对于每个询问，要求计算在区间 [L, R] 中所有数的最大值，且这个最大值必须在 [1, N] 的范围内。

具体地，设 f(L, R) 表示在区间 [L, R] 中所有数的最大值，且这个最大值必须在 [1, N] 的范围内，那么要求计算：

$$\max_{1\leq L\leq R\leq N}f(L,R)$$

解决方法

暴力枚举

最简单的想法是对于每个询问区间进行一次线性扫描，记录其中的最大值，并保证这个最大值在 [1, N] 的范围内。时间复杂度为 $O(NQ)$。

块状链表

我们可以将区间 [1, N] 分为若干块，每个块的大小是 K。每个块维护一个元素的值在该块内的出现次数。对于每个询问，我们可以只考虑询问所涉及的块以及部分跨越边界的元素。假设询问区间的左端点为 L，右端点为 R，那么块的编号可以用下面的公式计算：

$$\left\lfloor\frac{L-1}{K}\right\rfloor+1,\left\lfloor\frac{R-1}{K}\right\rfloor+1$$

在块内，我们可以使用根号分治或分块算法来求解最大值。

这个方法的时间复杂度为 $O(N\sqrt{N}+Q\sqrt{N}\log\sqrt{N})$。

线段树

我们可以使用线段树来维护区间内每个数的出现次数。线段树的叶子节点存储元素的值，内部节点存储其子节点所代表区间内最大的元素的值。

对于每个询问，我们可以在线段树上进行区间查询，找到最大的元素的值并保证其在 [1, N] 的范围内。线段树的操作时间复杂度为 $O(\log N)$，因此总时间复杂度为 $O(N\log N+Q\log N)$。

总结

本文介绍了三种解决最大范围长度问题的方法。其中，暴力枚举的方法最简单，但时间复杂度较高。块状链表的方法可以将时间复杂度降低至 $\sqrt{N}$ 级别，而线段树的方法可以达到 $\log N$ 的时间复杂度。程序员在实际使用时可以根据数据规模和效率要求来选择合适的算法。