维恩图

在Math 中，维恩图是表示两个或更多集合之间关系的图。约翰·文恩(John Venn)建议。他以被称为维恩图的图画形式表示了不同事物之间的关系。

在本节中，我们将了解什么是维恩图，其类型，用途，用途以及带有适当示例的表示形式。在转到维恩图之前，让我们快速浏览一下该集合。

集合是一组事物或一组事物。它可以包含数字，元音，动物，质数等。集合用大写字母表示，集合的元素用小写字母表示。一组中的所有元素都包含在一对大括号{}中。

例如， E是一个表示小于10的偶数的集合。我们可以以集合的形式表示它，如下所示：

E = {2,4,6,8}

其中E是集合名称，而2，4，6，8是集合的元素。我们还可以表示一种称为维恩图的嵌入式图形形式。

什么是维恩图?

表示不同集合(一组事物)的有限集合之间的Math 逻辑或关系的图或图形称为维恩图。它用于说明集合关系。我们通常使用圆形或椭圆形表示维恩图。它可能有一个以上的圆圈；每个代表一个集合。

假设有两个集合A和B，分别具有元素{1、2、3}和{8、5、9}。我们可以在维恩图中表示这两个集合，如下所示。

维恩图的优点

• 它用于比较和分类。
• 它将信息分为不同的部分。
• 它还强调了异同。

维恩图的用途

在Math 中使用维恩图来理解集合论。我们还使用它来了解对象集之间或对象集之间的关系。它描绘了相交和并集的集合。

如何绘制维恩图

• 首先，我们绘制一个矩形。
• 在矩形的左上角或右上角写union()符号。
• 在矩形内，编写不属于任何集合的元素。画一个代表集合的圆。
• 在圆圈内或圆圈外，写下相应集合的名称。
• 在圆圈内，写下集合的元素。

假设有两个集合A和B，它们具有一些共同的元素。这些集合的维恩图可以绘制如下：

维恩图的类型

维恩图有以下几种类型：

• 两套图
• 两套欧拉图
• 三组图
• 三组欧拉图
• 四组图

两套图：当两套相互重叠时，称为两套图。在下图中，有两个集合A和B分别具有元素{a，e，i，o，u}和{a，b，c，d，e，f，g} 。两组都有两个共同的元素，即{a，e} 。让我们在维恩图中表示这种关系。

两组欧拉图：当两组不相互重叠时，称为两组欧拉图。在下图中，有两个集合A和B ，分别具有元素{芒果，苹果，香蕉，番石榴，葡萄}和{马铃薯，寒冷，生姜，番茄，胡萝卜，萝卜} 。集合A代表水果集，集合B代表蔬菜集。蔬菜和水果彼此不匹配，因此在集合中没有共同的元素。让我们在维恩图中表示这两个集合。

如果一个集合完全包含另一个集合，则它既是欧拉图又是维恩图。假设集合A代表动物集合，集合B代表食肉动物集合。显然，所有动物都不是肉食动物，但反之亦然。因此，所有食肉动物也存在于一组动物中，即A。我们可以在维恩图中表示它，如下所示。

三套图：当三套重叠时，彼此称为三套图。在下图中，存在三个集合A，B和C ，其元素分别为{Andrew，Peter，Sam，Tom，David}，{Michael，Sam，Tom，Robert，Jack，Smith}和{David，Maria，汤姆，安吉丽娜和迈克尔} 。集合A，B和C分别代表学习物理，化学和Math 的学生的姓名。在以上集合中，一些学生仅学习一个主题，一些学生学习两个主题，而一些学生则学习所有三个主题。

• 大卫是既学习物理又学Math 的学生。
• 迈克尔是同时学习化学和Math 的学生。
• 萨姆是学化学和物理的学生。
• 汤姆是学习化学，Math 和物理三科的学生。

因此，我们可以在维恩图中表示它，如下所示。

三组欧拉图：在三组欧拉图中，当一组不与其他两组重叠时，称为三组欧拉图。假设集合A表示元音{a，e，i，o，u}的集合，集合B表示字母{a，b，c，d，e，f，g}的集合，集合C表示希腊字母集{ρ，ω，φ，θ，ϵ} 。我们可以在维恩图中表示它，如下所示。

三组欧拉图可以具有嵌套集。在下图中，粉红色的东西集可能包含一组浅粉红色的东西。

上面的图不是维恩图，因为两组不相互重叠(黑色事物和浅粉红色事物)。

四组图：由于圆形不再重叠，因此我们使用椭圆形表示四组图。椭圆形确保所有集合彼此重叠。它是表示四组图的唯一选项。

我们还使用带有曲线的三组图来表示四组图。当使用圆的四组图也将是欧拉图时，该圆将不会显示每对组之间的并集。

在转向示例之前，让我们快速了解一下集合论中使用的符号。

A={1,3}
B={2,3,9}
C={3,9}

A∪B={1,2,3,9}

A∩B={3}

{1}⊂A
C⊂B

{1,3}⊄A

{1}⊆A
{1,3}⊆A

B⊃C

3∈A

4∉A

让我们基于维恩图解决一些示例。

示例1：在办公室中，随机选择200名员工进行调查。在200名员工中，有140名喜欢茶，120名喜欢绿茶，还有80名喜欢茶和绿茶。根据问答中给出的数据，以下问题。

• 有多少员工只喜欢喝茶?
• 多少员工只喜欢绿茶?
• 有多少员工既不喜欢茶又不喜欢绿茶?
• 有多少员工只喜欢喝茶还是喝绿茶?
• 有多少员工喜欢至少一种饮料?

解决方案：我们可以通过以下维恩图表示给定的信息，其中T表示茶， G表示绿茶。

• 只喜欢喝茶的员工人数= 60
• 只喜欢绿茶的员工人数= 40
• 不喝茶也不喝绿茶的员工人数= 20
• 只喜欢喝茶或绿茶之一的员工人数= 60 + 40 = 100
• 至少喜欢茶或绿茶中的一种的员工人数= n(仅茶)+ n(仅绿茶)+ n(茶和绿茶)= 60 + 40 + 80 = 180

示例2：在对500名学校学生的调查中，研究小组观察到：

• 49％的学生喜欢踢足球。
• 53％的学生喜欢打曲棍球。
• 62％的学生喜欢打篮球。
• 27％的学生喜欢踢足球和曲棍球。
• 29％的学生喜欢打篮球和曲棍球。
• 29％的学生喜欢踢足球和篮球。
• 5％的学生不喜欢玩任何游戏。

根据以上数据，回答以下问题。

• 喜欢玩所有游戏的学生百分比?
• 找出只喜欢踢足球的学生与只喜欢踢曲棍球的学生所占百分比的比率。
• 喜欢只玩一种游戏的学生百分比。
• 喜欢玩至少两个游戏的学生百分比。

解：

n(F)=喜欢踢足球的学生= 49％
53％
="" 62％
="" n(b)="喜欢打篮球的学生=" n(b×h)="29％
" n(f∩b)="28％

由于5％的人不喜欢玩给定的游戏，因此n(F∪H∪B)= 95％。

现在应用基本公式，

求解，我们得到n(F H H B)= 15％。

现在，我们将基于已计算的信息绘制维恩图。请记住，图中的所有值均以百分比表示。