通过行优先级和列优先级相加的矩阵痕迹查找

矩阵痕迹指的是矩阵的主对角线上的元素之和。通过将同一矩阵的行优先级和列优先级相加而形成的矩阵的痕迹也可以得到同样的结果。

这个算法在矩阵计算中有广泛的应用，特别是在机器学习和深度学习中。下面我们来了解这个算法的具体实现。

对角线优先级矩阵

一个 $n \times n$ 的矩阵的主对角线可以用 $n$ 个元素表示，分别是 $(1,1)$，$(2,2)$，$\ldots$，$(n,n)$。我们可以创建一个对角线优先级矩阵来表示这些元素。

对角线优先级矩阵是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中第 $i+j-1$ 行和第 $i+j-1$ 列的元素都是 $1$，其余元素都是 $0$。例如：

$$ \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \ 0 &1 &0 &0 \ 0 &0 &1 &0 \ 0 &0 &0 &1 \ \end{bmatrix} $$

对于一个矩阵 $A$，可以创建对应的行优先级矩阵 $R$ 和列优先级矩阵 $C$，并分别计算 $RAC$ 和 $CRA$ 的痕迹，它们都等于 $A$ 的痕迹。

代码实现

下面是一个 Python 实现示例：

import numpy as np

def trace_by_priority_sum(matrix):
    """
    通过将同一矩阵的行优先级和列优先级相加而形成的矩阵的痕迹查找
    """
    n = matrix.shape[0]
    priority_matrix = np.zeros((n, n))
    
    # 构造对角线优先级矩阵
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i+j == n-1:
                priority_matrix[i, j] = 1
                
    # 计算行优先级和列优先级矩阵的痕迹
    row_priority = np.trace(np.dot(priority_matrix, matrix))
    col_priority = np.trace(np.dot(matrix, priority_matrix))
    
    return row_priority, col_priority

该函数接受一个 $n \times n$ 的矩阵作为输入，返回两个值：行优先级痕迹和列优先级痕迹。

测试样例

下面是一个测试样例：

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
row_priority, col_priority = trace_by_priority_sum(matrix)

print("Matrix:\n", matrix)
print("Row priority trace:", row_priority)
print("Col priority trace:", col_priority)

输出结果：

Matrix:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
Row priority trace: 15.0
Col priority trace: 15.0

我们可以看到，行优先级痕迹和列优先级痕迹均等于原矩阵的痕迹，也即 $1+5+9=15$。