替换后的最小回文数

在字符串中进行替换操作，使得最终的字符串形成一个回文串，求最小需要替换的次数。

解法

可以考虑对于原字符串 $s$，将其反转后得到字符串 $t$，然后进行最长公共子序列 (LCS) 的计算。假设 LCS 的长度为 $k$，那么需要替换的次数就是 $|s| - k$。

证明如下：设 $s$ 最长回文子序列为 $p$，即 $s$ 和 $p$ 的长度最大且相同。则不难证明 $s+p$ 是回文串，而其中的相同部分就是 $LCS(s,t)$。因此，如果 $k=|LCS(s,t)|$，那么 $k$ 次替换操作后得到的字符串就一定是回文串。

最长回文子序列和 LCS 可以使用动态规划计算。时间复杂度 $O(|s|^2)$。

代码示例（Python）：

def min_palindrome_replacement(s: str) -> int:
    t = s[::-1]
    n = len(s)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return n - dp[n][n]

代码中返回的是需要替换的最少次数。

总结

本题可以利用动态规划求解最长回文子序列和最长公共子序列，将其应用到字符串替换问题中。实际应用中，也可以考虑其他字符串匹配算法，例如 KMP 算法等。