通过从给定数组中选择相同长度的子序列来最大化对的乘积之和

介绍

考虑给定一个整数数组 $A$，我们要选择一个长度为 $k$ 的子序列 $S$，使得 $S$ 中的相邻元素之间的乘积之和最大。

具体地说，我们定义一个对 $(i,j)$，其中 $i$ 和 $j$ 是 $S$ 中的元素，$i < j$，对 $(i,j)$ 的贡献为 $A_i \times A_j$。我们的目标是最大化对的乘积之和。

例如，对于 $A = [1,2,3,4]$ 和 $k = 2$，最优的子序列 $S$ 是 $[3,4]$，其贡献为 $3 \times 4 = 12$。

解法

我们可以发现这个问题有一个很性质：对于任意的相邻的子序列 $S'$ 和 $S''$，它们共享 $k-1$ 个元素。因此，考虑将整个数组 $A$ 分成 $k$ 个块，每个块的大小为 $n/k$ 或者 $n/k + 1$（其中 $n$ 是 $A$ 的长度）。对于每个块，我们将其中的元素按降序排列，然后选择每个块中的最大的 $k$ 个元素，组成一个子序列 $S_i$。

根据这样的构造方式，$S_i$ 中任意两个元素之间的距离都是至少 $k$ 的，因此它们构成的对中最多只有一个元素共同出现。因此，我们可以先将块之间的对的贡献和计算出来，再将同一个块中的对的贡献和计算出来，最后相加即得到答案。

具体地，块之间的对的贡献和为

$$ \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k \max_{p \in S_i, q \in S_j} (A_p \times A_q) $$

同一个块中的对的贡献和为

$$ \sum_{i=1}^k \sum_{j=i+1}^k \max_{p,q \in S_i, p < q} (A_p \times A_q) $$

对于每个块，我们可以在 $O(n/k)$ 的时间内计算出其中最大的 $k$ 个元素，因此总时间复杂度为 $O(n k)$。当 $k$ 固定时，这个算法可以视为是 $O(n)$ 的，因为 $k$ 是常数级别的。

代码

n = len(A)
block_size = (n + k - 1) // k
blocks = [sorted(range(i * block_size, min((i + 1) * block_size, n)), key=lambda i: -A[i]) for i in range(k)]
block_contribs = [0] * k
for i in range(k):
    for j in range(i + 1, k):
        max_contrib = 0
        p, q = None, None
        for x in blocks[i]:
            for y in blocks[j]:
                if x < y:
                    contrib = A[x] * A[y]
                    if contrib > max_contrib:
                        max_contrib = contrib
                        p, q = x, y
        block_contribs[i] += max_contrib
        block_contribs[j] += max_contrib
ans = sum(block_contribs)
for block in blocks:
    for i in range(len(block)):
        for j in range(i + 1, len(block)):
            if j - i >= k:
                break
            ans += A[block[i]] * A[block[j]]

注：这里只提供了算法的伪代码，实际的实现方式可能需要进行一定的优化和改动。