最大化长度为K的子序列中的连续对的数字总和的乘积

介绍

本算法实现的功能是给定一个长度为N的序列，找到长度为K的最大子序列，使得该序列中得到相邻两个数字之和的积最大。具体而言，找到一个长度为K的子序列 [a1, a2, ..., ak]，使得 $\prod_{i=1}^{k-1} (a_i + a_{i+1})$ 最大。

实现思路

该算法的实现思路是对于长度为N的序列，先计算出长度为K的子序列中所有相邻数字之和的积，找到其中的最大值。具体而言，设 $prod(i, k)$ 表示以第i个元素开头的长度为k的子序列中相邻数字之和的积的最大值，则有以下递归式：

$$ prod(i, k) = \begin{cases} a_i, & k=1 \ max_{j=i+1}^{N-k+1} {prod(j, k-1) \times (a_i + a_{j})}, & k>1 \ \end{cases} $$

最终的解为 $\max_{i=1}^{N-K+1} prod(i, k)$。

为了避免重复计算，可以使用一个二维数组 $dp$ 来保存每个子问题的解。具体而言，$dp[i][k]$ 表示以第i个元素开头的长度为k的子序列中相邻数字之和的积的最大值，则有以下转移式：

$$ dp[i][k] = \begin{cases} a_i, & k=1 \ max_{j=i+1}^{N-k+1} {dp[j][k-1] \times (a_i + a_j)}, & k>1 \ \end{cases} $$

最终的解为 $\max_{i=1}^{N-K+1} dp[i][k]$。

代码实现

以下是上述算法的Python实现：

def max_subsequence_product(sequence, K):
    N = len(sequence)
    dp = [[0] * (K+1) for i in range(N+1)]
    for i in range(1, N-K+2):
        dp[i][1] = sequence[i-1]

    for k in range(2, K+1):
        for i in range(1, N-k+2):
            max_prod = 0
            for j in range(i+1, N-k+2):
                prod = dp[j][k-1] * (sequence[i-1] + sequence[j-1])
                max_prod = max(max_prod, prod)
            dp[i][k] = max_prod

    max_ans = 0
    for i in range(1, N-K+2):
        max_ans = max(max_ans, dp[i][K])

    return max_ans

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(N^2K)$，其中N为序列的长度，K为子序列的长度。由于时间复杂度较高，只适用于较小的序列长度和子序列长度。