在 O(NlogN) 中的所有子数组上查找所有唯一的最大和第二最大元素对

问题描述

给定一个包含 n 个整数的数组，设计算法找到所有唯一的最大和第二最大元素对，并在 O(NlogN) 的时间复杂度内实现。

解决方案

算法步骤

1. 将原始数组分解为两个数组：左半部分和右半部分。
2. 递归地在左半部分和右半部分中找到所有唯一的最大和第二最大元素对。
3. 对于跨越中心点的元素对，计算它们的和并更新最大和第二最大元素对。

代码实现

def find_pairs(nums):
    if len(nums) <= 1:
        return set()

    mid = len(nums) // 2

    left_max, left_second_max = find_pairs(nums[:mid])
    right_max, right_second_max = find_pairs(nums[mid:])

    pairs = set()

    if left_max > right_max:
        pairs.add((left_max, max(right_max, left_second_max)))
        if left_second_max > right_max:
            pairs.add((left_second_max, right_max))
        elif right_max > left_max > left_second_max:
            pairs.add((left_max, left_second_max))
        elif left_max > right_max > left_second_max:
            pairs.add((right_max, left_second_max))
    else:
        pairs.add((right_max, max(left_max, right_second_max)))
        if right_second_max > left_max:
            pairs.add((right_second_max, left_max))
        elif left_max > right_max > right_second_max:
            pairs.add((right_max, right_second_max))
        elif right_max > left_max > right_second_max:
            pairs.add((left_max, right_second_max))

    return pairs

时间复杂度分析

由于每次递归将问题规模减半，因此最多递归 logN 层，时间复杂度为 O(NlogN)。

总结

本文介绍了如何在 O(NlogN) 的时间复杂度下，在数组的所有子数组中查找唯一的最大和第二最大元素对。本算法的关键在于利用分治法思想，将问题规模从整个数组不断缩小，最终得出所有唯一的最大和第二最大元素对。