所有可能的子数组中最大元素和第二最大元素的最大XOR值

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $nums$，请找到所有可能的长度大于等于 $2$ 的子数组，计算每个子数组中最大元素和第二大元素的最大 XOR 值，并返回所有子数组中的最大值。

算法思路

1. 遍历数组 $nums$，对于每一个元素，得到以其为最大值的所有子数组；
2. 对于每一个子数组，找到最大值和第二大值，并计算两者的 XOR 值；
3. 返回所有子数组中 XOR 值的最大值。

具体实现可以使用暴力枚举的方式，时间复杂度为 $O(n^2)$，也可以通过排序的方式来优化，时间复杂度为 $O(n\log{n})$。

代码实现

暴力枚举

def findMaximumXOR(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    ans = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            subarray = nums[i:j+1]
            if len(subarray) < 2:
                continue
            subarray.sort()
            ans = max(ans, subarray[-1] ^ subarray[-2])
    return ans

排序

def findMaximumXOR(nums: List[int]) -> int:
    nums.sort()
    n = len(nums)
    ans = float('-inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            ans = max(ans, nums[i] ^ nums[j])
            if j+1 < n and nums[j+1] > nums[i]:
                break
    return ans

算法分析

时间复杂度

• 暴力枚举：外层循环需要遍历 $n$ 个元素，内层循环需要遍历 $n-i$ 个元素，对于每个子数组需要进行排序，时间复杂度为 $O(n^2\log{n})$；
• 排序：需要先排序，时间复杂度为 $O(n\log{n})$，然后对于每个元素，遍历其后面的元素，并在其中查找第一个大于等于当前元素的元素，时间复杂度为 $O(n)$，总时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

由于需要存储每个子数组，暴力枚举算法的空间复杂度为 $O(n^2)$，排序算法的空间复杂度为 $O(1)$。

参考文献

• LeetCode 题库