元素位置按位XOR最大和

问题描述

给定一个由N个元素组成的排列，计算每个元素与其它元素的按位异或运算结果，并求出所有结果的和的最大值。

输入格式

第一行为一个整数N，表示排列中元素的数量。

第二行为N个整数，表示排列中每个元素的值，范围为0到$2^{31}-1$。

输出格式

输出一个整数，表示按照上述规则计算出来的所有结果的最大值。

样例输入1

3
1 2 3

样例输出1

6

样例解释1

将三个数的所有按位异或结果计算一遍，得到的结果如下：

1^2=3
1^3=2
2^3=1
1^2^3=0

其中，最大的结果为6。

解题思路

对于这个问题，我们可以采用一种贪心策略来求解。具体来说，我们可以从高位到低位逐位处理。

首先，考虑只处理单个元素的情况。对于一个元素，我们可以将其贡献的异或和与其它元素的贡献区分开来计算。我们可以按照以下步骤来计算：

1. 去掉当前元素最高一位的二进制位；
2. 对于每一个剩余的二进制位，如果在所有元素中，1的数量比0的数量更多，则当前位的贡献为$2^k$，否则为0。

例如，考虑元素5，其二进制表示为101。如果我们将其与其它元素做异或运算，则有：

101 ^ 001 = 100
101 ^ 010 = 111
101 ^ 011 = 110
101 ^ 101 = 000

我们可以将元素5的异或和拆分为下面4个部分：

1. 只包含二进制位最高一位的贡献，也就是$2^{2}=4$；
2. 只包含第二个二进制位的贡献，也就是$2^{0}=1$；
3. 包含第一和第二个二进制位的贡献，也就是$2^{1}+2^{0}=3$；
4. 不包含任何位的贡献，也就是0。

为了实现这个计算过程，我们可以预处理出每一个二进制位上1的数量，然后根据当前元素的二进制表示，计算出每一个位置对异或和的贡献，最后将这些贡献加起来即可。

接下来，考虑计算多个元素的贡献。在这个情况下，我们可以将排列中的所有元素按照二进制的最高位进行分组，并且假设我们当前已经计算了第$i$位，那么第$i$位的贡献是确定的。

对于每一组，我们可以构建一个新的数组，该数组的长度为2。然后，我们将原数组中所有在该组中的元素拷贝到新数组中。接下来，我们可以对每个新数组分别计算单个元素的贡献，得到它们的异或和，并将所有结果相加即可。

具体来说，我们可以维护一个长度为$m$的数组$sums$，其中$m$为$N$的二进制表示的最高位数。对于每一个位$i$，我们可以将原数组中所有元素的第$i$位为1的部分和第$i$位为0的部分分别拷贝到一个新数组中，然后对该数组进行单个元素的贡献计算，得到该组的异或和，将其加入到$sums$数组中的第$i$位即可。

最后，我们只需要按照从高位到低位的顺序将$sums$数组各个位置的值相加，得到整个排列组成的最大异或和即可。

时间和空间复杂度

时间复杂度：$O(N\log^2N)$

空间复杂度：$O(\log N)$

代码示例

def max_xor_sum(N, nums):
    # 根据N的位数，计算出二进制表示的最高位
    max_bit, mask = 0, 1
    while mask <= N:
        max_bit += 1
        mask <<= 1

    # 初始化sums数组
    sums = [0] * max_bit

    # 从高位到低位处理每一个二进制位
    for i in range(max_bit - 1, -1, -1):
        # 计算第i位的掩码
        mask = 1 << i

        # 分组
        zeros, ones = [], []
        for j in range(N):
            if nums[j] & mask:
                ones.append(nums[j])
            else:
                zeros.append(nums[j])

        # 计算该组的异或和
        mx_val = 0
        if ones:
            mx_val = max(mx_val, single_xor_sum(ones))
        if zeros:
            mx_val = max(mx_val, single_xor_sum(zeros))

        # 将该组的异或和加入到sums数组相应的位置中
        sums[i] = mx_val

    # 按照从高位到低位的顺序求得最大异或和
    res = 0
    for i in range(len(sums) - 1, -1, -1):
        res = (res << 1) + sums[i]

    return res

def single_xor_sum(nums):
    # 计算元素各自位置上的异或和
    mx_val = 0
    for i in range(31, -1, -1):
        mask = 1 << i
        ones, zeros = 0, 0
        for j in range(len(nums)):
            if nums[j] & mask:
                ones += 1
            else:
                zeros += 1
        if ones > zeros:
            mx_val += 1 << i

    return mx_val

总结

本题是一道比较典型的贪心题目，需要对排列中的元素进行分组，然后对每个分组中的元素进行单独计算，得出它们的异或和。最终，需要将各个分组的异或和相加，得到整个排列组成的最大异或和。