数组中对的按位XOR的最大和和最小和

在一个数组中，如果两个数的按位XOR结果最大，这两个数就被称为一对。同样地，如果两个数的按位XOR结果最小，那么这两个数也被称为一对。本文将介绍如何找到一个数组中的这两个数，并计算它们的最大和和最小和。

按位XOR的定义

按位XOR（异或）是一种二进制操作，它将两个二进制数的对应位进行比较，如果相同则输出0，如果不同则输出1。例如，下面是两个二进制数的按位XOR的结果：

1010
XOR 1100
  = 0110

寻找最大和最小的一对

我们可以使用暴力方法来找到一个数组中按位XOR结果最大和最小的一对。具体来说，我们可以枚举数组中的每一对数，并计算它们的按位XOR结果。在这个过程中，我们可以通过将当前最大/最小按位XOR结果和当前计算得到的按位XOR结果进行比较来更新最大/最小按位XOR结果。最后，我们返回这两个数的和即可。

下面是具体的代码实现：

def max_min_xor_pair(arr):
    n = len(arr)
    max_xor = 0
    min_xor = float('inf')
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            cur_xor = arr[i] ^ arr[j]
            max_xor = max(max_xor, cur_xor)
            min_xor = min(min_xor, cur_xor)
    max_sum = 0
    min_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            cur_xor = arr[i] ^ arr[j]
            if cur_xor == max_xor:
                max_sum = max(max_sum, arr[i]+arr[j])
            if cur_xor == min_xor:
                min_sum = max(min_sum, arr[i]+arr[j])
    return max_sum, min_sum

这段代码的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$是数组的长度。由于暴力枚举每一对数，因此算法的效率较低。接下来，我们将介绍一种更快速的方法来解决这个问题。

时间复杂度为O(n)的解法

我们可以使用字典树（Trie）来加速寻找最大和最小的一对。具体地，我们可以将数组中的每一个数插入到字典树中。然后，我们可以从高位往低位遍历所有可能的值，从而计算出最大按位XOR结果和最小按位XOR结果。在这个过程中，我们可以利用字典树来加速搜索。

下面是具体的代码实现：

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = {}
    
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node:
                node[bit] = {}
            node = node[bit]
    
    def query_max_xor(self, num):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if 1-bit in node:
                node = node[1-bit]
                res += 1<<i
            else:
                node = node[bit]
        return res
    
    def query_min_xor(self, num):
        node = self.root
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit in node:
                node = node[bit]
            else:
                node = node[1-bit]
                res += 1<<i
        return res

def max_min_xor_pair(arr):
    n = len(arr)
    trie = Trie()
    for num in arr:
        trie.insert(num)
    max_xor = 0
    min_xor = float('inf')
    for num in arr:
        max_xor = max(max_xor, trie.query_max_xor(num))
        min_xor = min(min_xor, trie.query_min_xor(num))
    max_sum = 0
    min_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            cur_xor = arr[i] ^ arr[j]
            if cur_xor == max_xor:
                max_sum = max(max_sum, arr[i]+arr[j])
            if cur_xor == min_xor:
                min_sum = max(min_sum, arr[i]+arr[j])
    return max_sum, min_sum

这个算法的时间复杂度为$O(n)$，其中$n$是数组的长度。由于字典树的结构可以帮助我们在常数时间内查找数值的某一位是否为1，因此我们可以大大加速计算。

总结

在本文中，我们介绍了如何在一个数组中找到最大和最小的一对，并计算它们的和。我们介绍了暴力和字典树两种解法，并分析了它们的时间复杂度。如果您面临一个类似的问题，我们相信这些方法可以为您提供帮助。