子数组中“max + min”的最小值

给定一个整数数组，寻找一个子数组包含最大值和最小值，计算出该子数组中“max + min”的最小值。

例如，给定数组 nums = [2, 4, 5, 7, 1, 3, 8, 6]，子数组 [2, 4, 5, 7, 1, 3] 包含最大值 7 和最小值 1，那么“max + min”的最小值为 8。

解决这个问题的一种常见方法是使用单调栈。单调栈是指栈中所有元素都满足一定条件，比如单调递增或单调递减。在这个问题中，我们需要维护两个单调栈，一个存储最大值，另一个存储最小值。我们从左到右依次遍历数组，更新两个单调栈。当我们添加一个新元素时，我们从栈顶开始将栈中较大或较小的元素弹出，以保持单调栈的特性。

为了计算“max + min”的最小值，我们可以使用一个双端队列。我们从左到右遍历数组，在双端队列中存储所有可能的最小值。当我们处理到某个位置时，我们从双端队列中弹出所有比当前元素大的元素。这些元素对于计算“max + min”的最小值没有贡献，因为我们可以在右侧找到一个更小的元素。我们将当前元素添加到双端队列的末尾。然后，我们可以使用两个单调栈来找到子数组的最大值和最小值。

以下是一个Python代码示例，演示了如何使用单调栈和双端队列计算“max + min”的最小值。

def min_max_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_deque, min_deque = [], []
    max_stack, min_stack = [], []

    mins, maxs = [0] * n, [0] * n
    for i in range(n):
        while max_deque and nums[max_deque[-1]] < nums[i]: max_deque.pop()
        max_deque.append(i)
        while min_deque and nums[min_deque[-1]] > nums[i]: min_deque.pop()
        min_deque.append(i)
        while max_stack and nums[max_stack[-1]] <= nums[i]: max_stack.pop()
        max_stack.append(i)
        while min_stack and nums[min_stack[-1]] >= nums[i]: min_stack.pop()
        min_stack.append(i)

        maxs[i] = nums[max_deque[0]]
        mins[i] = nums[min_deque[0]]

        j = i - 1
        while maxs[j] > nums[i] and j >= 0: j -= 1
        max_sum = max(maxs[j] + nums[i], nums[i] + nums[i])
        j = i - 1
        while mins[j] < nums[i] and j >= 0: j -= 1
        min_sum = min(mins[j] + nums[i], nums[i] + nums[i])

        ans = ans if ans is not None else max_sum + min_sum
        ans = min(ans, max_sum + min_sum)
        if max_stack and min_stack and max_stack[-1] < min_stack[0]:
            ans = min(ans, nums[max_stack[-1]] + nums[min_stack[0]])

    return ans

这个函数接受一个整数数组 nums，并返回一个整数，该整数表示“max + min”的最小值。我们创建两个双端队列，分别用于维护最大值和最小值。我们还创建两个单调栈，分别用于维护最大值和最小值。我们遍历输入数组，并使用单调栈和双端队列更新每个元素的最大值和最小值。然后我们计算每个子数组的“max + min”值，并保留最小值。最后我们返回这个最小值作为函数的结果。

这样就解决了这个问题。我们的算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是输入数组的长度。我们需要遍历输入数组两次，但每个元素最多只会被压入每个单调栈一次。双端队列可以在 $O(1)$ 时间内实现元素的添加和弹出。因此，算法的总运行时间为 $O(n)$。

以上就是如何使用单调栈和双端队列计算子数组中“max + min”的最小值的介绍。希望本文能对初学者有所帮助。