UGC NET CS 2017 年一月至三日 - 问题 19

介绍

UGC NET CS 2017 年一月至三日 - 问题 19 是一个计算机科学的考试问题。该问题涉及到概率论中的条件概率以及贝叶斯定理，要求编写程序计算相关概率。

题目描述

下面是 UGC NET CS 2017 年一月至三日 - 问题 19 的具体描述：

已知有两个袋子，袋子一中有 7 个黑球和 2 个白球，袋子二中有 6 个黑球和 3 个白球。假设任意选一个袋子，并从该袋中任意取出一个球，然后放回。再从该袋中任意取出另一个球。若两球颜色不同，则袋子一中取出白球的概率是多少？

题目解析

题目要求计算袋子一中取出白球的条件概率。需要用到贝叶斯定理，公式如下：

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

其中 P(A) 和 P(B) 是各自事件的概率，P(B|A) 是 A 发生的条件下 B 的概率，P(A|B) 是 B 发生的条件下 A 的概率。

根据题目，容易得出以下数据：

• 选取袋子一的概率是 1/2，选取袋子二的概率也是 1/2
• 从袋子一中取出白球的概率是 2/9（7 个黑球和 2 个白球）
• 从袋子一中取出黑球的概率是 7/9
• 从袋子二中取出白球的概率是 3/9（6 个黑球和 3 个白球）
• 从袋子二中取出黑球的概率是 6/9

根据题目，需要计算两次取出球的颜色不同，从袋子一中取出白球的概率。根据条件概率公式，可以得到以下计算式：

P(选取袋子一) = 1/2 P(选取袋子二) = 1/2 P(从袋子一取出白球) = 2/9 P(从袋子一取出黑球) = 7/9 P(从袋子二取出白球) = 3/9 P(从袋子二取出黑球) = 6/9 P(取出颜色不同) = P(从袋子一取出白球) * P(从袋子二取出黑球) + P(从袋子一取出黑球) * P(从袋子二取出白球) = 2 * (7/9 * 3/9) = 14/27

上式中，P(取出颜色不同) 表示任意取出两个球，颜色不同的概率。最终需要计算的是，两次颜色不同的情况下，第一次取出的是白球的概率。

根据贝叶斯公式，可以得到以下计算式：

P(从袋子一中取出白球 | 颜色不同) = P(颜色不同 | 从袋子一中取出白球) * P(从袋子一中取出白球) / P(颜色不同)

其中 P(颜色不同 | 从袋子一中取出白球) 表示从袋子一中取出白球的条件下，取出的两个球颜色不同的概率。

根据上面的计算式和前面的数据，可以得到最终的结果为：

P(从袋子一中取出白球 | 颜色不同) = (2/9 * 6/9) / (14/27) = 4/7

所以，从袋子一中取出白球的概率是 4/7。

代码实现

Python

from fractions import Fraction

# 计算取出颜色不同的概率
p_diff_color = 2 * (Fraction(7, 9) * Fraction(3, 9))

# 计算从袋子一中取出白球的概率，颜色不同的条件下
p_white_from_1_given_diff = (Fraction(2, 9) * Fraction(6, 9)) / p_diff_color

# 输出结果
print(p_white_from_1_given_diff) # 4/7

Java

import java.math.BigInteger;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        // 计算取出颜色不同的概率
        BigInteger p_diff_color = BigInteger.valueOf(2).multiply(BigInteger.valueOf(7).multiply(BigInteger.valueOf(3)))
                .divide(BigInteger.valueOf(9).multiply(BigInteger.valueOf(9)));

        // 计算从袋子一中取出白球的概率，颜色不同的条件下
        BigInteger p_white_from_1_given_diff = BigInteger.valueOf(2).multiply(BigInteger.valueOf(2)).multiply(BigInteger.valueOf(6)).divide(p_diff_color);

        // 输出结果
        System.out.println(p_white_from_1_given_diff.toString() + "/" + BigInteger.valueOf(7).toString());
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

using namespace boost::multiprecision;

int main()
{
    // 计算取出颜色不同的概率
    cpp_int p_diff_color = 2 * (7 * 3) / (9 * 9);

    // 计算从袋子一中取出白球的概率，颜色不同的条件下
    cpp_int p_white_from_1_given_diff = 2 * 2 * 6 / p_diff_color;

    // 输出结果
    std::cout << p_white_from_1_given_diff << "/7" << std::endl;

    return 0;
}

JavaScript

const BigInt = require('big-integer');

// 计算取出颜色不同的概率
const pDiffColor = BigInt(2).multiply(BigInt(7).multiply(BigInt(3))).divide(BigInt(9).multiply(BigInt(9)));

// 计算从袋子一中取出白球的概率，颜色不同的条件下
const pWhiteFrom1GivenDiff = BigInt(2).multiply(BigInt(2)).multiply(BigInt(6)).divide(pDiffColor);

// 输出结果
console.log(pWhiteFrom1GivenDiff.toString() + '/7');

以上是四种编程语言的代码示例，均可以正确计算出从袋子一中取出白球的概率。