计算n位数的非降序数总数

在计算机科学中，一个n位数是指由n个数字组成的数。在一个n位数字中，非降序数指的是一个数字中的每一位都小于等于它右边的数字，如1234、4444等。本文将介绍如何计算n位数的非降序数总数。

算法原理

我们可以通过动态规划的方法来计算n位数的非降序数总数。

假设d(i,j) 表示i位数字中，最高位为j的非降序数总数。在这种情况下，我们可以得到以下递推式：

d(i,j)=∑d(i-1,k)，其中k≤j

我们可以解释如下：

• 如果i=1，则 d(1,j)=1（j=0,1,2,...,9）
• 当i大于1时，d(i,j)等于所有小于等于它的数字（k≤j）中的非降序数总数之和。例如，对于两位数字，如果最高位为2，则有d(2,2)=d(1,2)+d(1,1)+d(1,0)。

通过计算 d(n,0) 到 d(n,9) 的总和，我们就能得出n位非降序数的总数。

代码实现

以下是使用Python 3实现上述算法的程序代码：

def count_non_descending_numbers(n):
    """ 计算n位数的非降序数总数 """
    count = [[0 for j in range(10)] for i in range(n)]
 
    # 填充第一位数字的总数
    for i in range(10):
        count[0][i] = 1
 
    # 计算其他位数字的总数
    for i in range(1, n):
        for j in range(10):
            for k in range(j+1):
                count[i][j] += count[i-1][k]
 
    # 计算总和
    total = 0
    for i in range(10):
        total += count[n-1][i]
 
    return total

测试样例

以下是针对上述代码实现的一些测试样例：

| 输入n | 非降序数总数 | | ---- | ---- | | 1 | 10 | | 2 | 55 | | 3 | 220 | | 4 | 715 | | 5 | 2002 |

总结

通过上述算法，我们可以计算n位数字中的非降序数总数。虽然算法的时间复杂度为O(n^2)，但对于n比较小的情况，其计算速度非常快。