在由两个数组之和形成的集合中找到第 N 个项目

在面试或算法题中，经常可以遇到需要在由两个数组之和形成的集合中找到第 N 个项目的问题。例如，我们可以给定两个数组 arr1 和 arr2，以及一个整数 N。集合 S 由所有形如 a + b 的元素构成，其中 a 为数组 arr1 中的元素，b 为数组 arr2 中的元素。现在我们需要找到 S 中第 N 小的元素。

以下是几个可供参考的解决方案：

暴力破解法

我们可以将集合 S 整体排序，并返回排在第 N 位的元素。这种方法简单易懂，但其时间复杂度为 O((mn)log(mn))，其中 m 为数组 arr1 的大小，n 为数组 arr2 的大小，因此会随着数组的增大而变得效率极低。

堆方法

我们可以创建一个最小堆，并将元素按照其值进行排序。在堆中，我们首先将第一个元素设置为 arr1[0] + arr2[0]。接着，我们可以依次将 a + b 的结果推入堆中，并维护最小堆的性质。当堆包含 N 个元素时，堆顶元素即为所求。这种方法的时间复杂度为 O(NlogN)，其中 N=m*n。

import heapq

def find_nth_element(arr1, arr2, N):
    heap = [(arr1[0] + arr2[0], 0, 0)]
    visited = set((0, 0))
    for i in range(N):
        val, i, j = heapq.heappop(heap)
        if i < len(arr1) - 1 and (i+1, j) not in visited:
            heapq.heappush(heap, (arr1[i+1] + arr2[j], i+1, j))
            visited.add((i+1, j))
        if j < len(arr2) - 1 and (i, j+1) not in visited:
            heapq.heappush(heap, (arr1[i] + arr2[j+1], i, j+1))
            visited.add((i, j+1))
    return val

二分查找法

我们可以对 S 中的元素进行二分查找。对于一个给定的 mid 值，我们可以计算出小于等于 mid 的元素的个数。接着，依据这个值，我们可以将 mid 的值调整到合适的位置，并尝试找到第 N 小的元素。

def find_nth_element(arr1, arr2, N):
    l, r = arr1[0] + arr2[0], arr1[-1] + arr2[-1] + 1
    while l < r:
        mid = (l + r) // 2
        cnt = 0
        j = len(arr2) - 1
        for i in range(len(arr1)):
            while j >= 0 and arr1[i] + arr2[j] > mid:
                j -= 1
            cnt += j + 1
        if cnt < N:
            l = mid + 1
        else:
            r = mid
    return l

无论使用哪种方法，需要注意到，当给定的 N 大于等于数组 arr1 和 arr2 的长度之积时，集合 S 中一定存在第 N 小的元素，因此需要对这种情况进行特殊处理。

希望这篇文章对您有所帮助，如果有任何疑问或建议，请随时联系我们！