长度为K的子序列的最大按位OR值

问题描述

给定一个整数序列 $nums$，找出长度为 $k$ 的子序列的最大按位或值。

按位或（bitwise OR）是将两个二进制数的每一位对应位相或（OR）运算，若有一位为 $1$，则结果对应位为 $1$。例如 $2$ 和 $3$ 的按位或值为 $3$，即 $10_2$ 和 $11_2$ 的按位或值为 $11_2$。

例子

输入：$nums=[1,2,4,8]$, $k=3$

输出：$7$，其中子序列为 $[1,2,4]$，其按位或值为 $7$。

解决方案

方法1：暴力枚举

我们可以枚举所有长度为 $k$ 的子序列，然后计算它们的按位或值，最终返回最大值。以下是该方法的时间和空间复杂度：

• 时间复杂度：$O(n^k)$，其中 $n$ 是序列的长度。
• 空间复杂度：$O(k)$，需要保存长度为 $k$ 的子序列。

代码实现：

class Solution:
    def maxSubarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(n - k + 1):
            cur = 0
            for j in range(i, i + k):
                cur |= nums[j]
            ans = max(ans, cur)
        return ans

方法2：位运算

我们可以使用位运算来优化上面的算法。对于一个二进制数，如果某一位为 $0$，则把它和任何数按位或值不会改变这一位的值；如果某一位为 $1$，则和其它二进制数按位或值后这一位仍为 $1$。因此，我们可以通过先统计序列中 $k$ 个数字的每一位上是否有 $1$，然后得到长度为 $k$ 的子序列的按位或值。以下是该方法的时间和空间复杂度：

• 时间复杂度：$O(nk)$，其中 $n$ 是序列的长度。
• 空间复杂度：$O(k)$，需要保存长度为 $k$ 的子序列的每一位上是否有 $1$。

代码实现：

class Solution:
    def maxSubarray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        ans = 0
        for i in range(32):
            if (1 << i) > max(nums):
                break
            cur = 0
            for j in range(n):
                if nums[j] & (1 << i):
                    cur += 1 << i
            ans |= cur
        return ans

结语

本文介绍了两种方法来解决长度为 $k$ 的子序列的最大按位或值问题，其中暴力枚举的时间复杂度比较高，但位运算的方法优化了时间复杂度。在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的算法。