模数10 ^ 9 + 7(1000000007)

在大多数编程比赛中，我们都需要以10 ^ 9 + 7模为模来回答结果。这背后的原因是，如果问题约束是大整数，则只有有效的算法才能在允许的有限时间内解决它们。
什么是模运算：
在两个操作数上进行除法运算后获得的余数称为模运算。进行模运算的运算符为‘％’ 。例如：a％b = c，这意味着，当a除以b时，它将得到余数c，7％2 = 1、17％3 = 2。
为什么我们需要取模：

• 采用Mod的原因是为了防止整数溢出。 C / C++中最大的整数数据类型是64位无符号long long int ，可以处理从0到(2 ^ 64 – 1)的整数。但是，在某些产出增长率很高的问题中，这种高范围的无符号长久可能是不够的。
  假设在64位变量’A’中存储2 ^ 62，在另一个64位变量’B’中存储2 ^ 63。当我们将A和B相乘时，系统不会给出运行时错误或异常。它只是进行一些伪计算并存储伪结果，因为结果的位大小是在乘法溢出后得出的。
• 在某些问题中，需要计算模逆的结果，并且该数很有用，因为它是质数。同样，这个数字应该足够大，否则在某些情况下模块化逆向技术可能会失败。

由于这些原因，问题解决者需要对一些数字N取模来给出答案。
N的值取决于某些条件：

1. 它应该足够大以适合最大的整数数据类型，即确保没有结果溢出。
2. 它应该是质数，因为如果我们将质数取为质数，则结果通常是隔开的，即与非质数的数相比，结果是非常不同的结果，这就是质数通常用于质数的原因。

10 ^ 9 + 7符合这两个条件。它是第一个10位数的质数，也适合int数据类型。实际上，任何小于2 ^ 30的质数都可以，以防止可能的溢出。
模数的使用方式：
模的一些分布特性如下：

1. (a + b)％c =((a％c)+(b％c))％c
2. (a * b)％c =((a％c)*(b％c))％c
3. (a – b)％c =((a％c)–(b％c))％c
4. (a / b)％c =((a％c)/(b％c))％c

因此，模是分布在+，*和–上，而不是分布在/ [请参考模块化部门以获取详细信息]
注意： (a％b)的结果将始终小于b。
在计算机程序的情况下，由于变量限制的大小，我们在每个中间阶段执行模M，这样就不会发生范围溢出。

Example:
a = 145785635595363569532135132
b = 3151635135413512165131321321
c = 999874455222222200651351351
m = 1000000007
Print (a*b*c)%m.

Method 1:
First, multiply all the number and then take modulo:
(a*b*c)%m = (459405448184212290893339835148809
515332440033400818566717735644307024625348601572) % 
1000000007
a*b*c does not fit even in the unsigned long long 
int due to which system drop some of its most 
significant digits. Therefore, it gives the wrong answer.
(a*b*c)%m = 798848767

Method 2:
Take modulo at each intermediate steps:
i = 1
i = (i*a) % m    // i = 508086243
i = (i*b) % m    // i = 144702857
i = (i*c) % m    // i = 798848767
i = 798848767 

Method 2 always gives the correct answer.

使用模但在不同位置查找大量阶乘的函数。

C++

unsigned long long factorial(int n)
{
    const unsigned int M = 1000000007;
    unsigned long long f = 1;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = f * i;  // WRONG APPROACH as
                    // f may exceed (2^64 - 1)
 
    return f % M;
}

Java

static long factorial(int n)
{
    const long M = 1000000007;
    long f = 1;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = f * i;  // WRONG APPROACH as
                    // f may exceed (2^64 - 1)
 
    return f % M;
}
 
// This code is contributed by rutvik_56.

Python3

def factorial( n) :
    M = 1000000007
    f = 1
 
    for i in range(1, n + 1):
        f = f * i # WRONG APPROACH as
                  # f may exceed (2^64 - 1)
 
    return f % M
 
# This code is contributed by
# Shubham Singh(SHUBHAMSINGH10)

C#

static long factorial(int n)
{
    const long M = 1000000007;
    long f = 1;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = f * i;  // WRONG APPROACH as
                    // f may exceed (2^64 - 1)
 
    return f % M;
}
 
// This code is contributed by pratham76.

C++

unsigned long long factorial(int n)
{
    const unsigned int M = 1000000007;
 
    unsigned long long f = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = (f*i) % M;  // Now f never can
                        // exceed 10^9+7
    return f;
}

Java

static long factorial(int n)
{
    long M = 1000000007;
 
    long f = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = (f*i) % M;  // Now f never can
                        // exceed 10^9+7
    return f;
}
 
// This code is contributed by Dharanendra L V.

Python3

def factorial( n) :
    M = 1000000007
    f = 1
 
    for i in range(1, n + 1):
        f = (f * i) % M # Now f never can
                        # exceed 10^9+7
 
    return f
 
# This code is contributed by
# Shubham Singh(SHUBHAMSINGH10)

C＃

static long factorial(int n)
{
    long M = 1000000007;
 
    long f = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f = (f*i) % M;  // Now f never can
                        // exceed 10^9+7
    return f;
}
 
// This code is contributed by Dharanendra L V.

可以遵循相同的步骤进行添加。
(a + b + c)％M与((((a + b)％M)+ c)％M相同。
每次添加数字时都要执行％M，以避免溢出。

注意：在大多数编程语言中(如C / C++)，当您使用负数执行模块化运算时，它会给出负结果，如-5％3 = -2，但是模块化运算后的结果应在范围内0到n-1表示-5％3 =1。因此，将其转换为正模等效值。

C++

int mod(int a, int m)
{
    return (a%m + m) % m;
}

Java

static int mod(int a, int m)
{
    return (a%m + m) % m;
}
// This code is contributed by
//Shubham Singh(SHUBHAMSINGH10)

Python3

def mod(a, m):
    return (a%m + m) % m
 
# This code is contributed by
# Shubham Singh(SHUBHAMSINGH10)

C＃

static int mod(int a, int m)
{
    return (a % m + m) % m;
}
 
// This code is contributed by
//Shubham Singh(SHUBHAMSINGH10)

但是划分的规则是不同的。为了进行模运算除法，我们首先需要了解模乘法逆的概念。

模乘逆(MMI)：
数y的乘法逆是z iff(z * y)== 1。
将数字x除以另一个数字y等于将x乘以y的乘法逆。
x / y == x * y ^(-1)== x * z(其中z是y的乘法逆)。
在常规算术中，y的乘法逆是浮点值。例如：7的乘法逆是0.142…，3的乘法逆是0.333…。
在数学中，整数“ a”的模乘乘法逆是整数“ x”，以使得乘积ax相对于模数m等于1。
轴= 1(mod m)
将ax除以整数m后的余数为1。

Example:
If M = 7, the MMI of 4 is 2 as (4 * 2) %7 == 1,
If M = 11, the MMI of 7 is 8 as (7 * 8) % 11 == 1,
If M = 13, the MMI of 7 is 2 as (7 * 2) % 13 == 1.

观察到一个数字的MMI对于不同的M可能会有所不同。
因此，如果我们在程序中执行模算术，并且需要运算x / y的结果，则不应执行

z = (x/y) % M;

相反，我们应该执行

y_inv = findMMI(y, M);
z = (x * y_inv) % M;