二元搜索的复杂度分析

像O(1)和O(n)这样的复杂性很容易理解。 O(1)表示需要恒定的时间来执行操作，例如在字典中以恒定的时间到达元素； O(n)表示，它取决于n的值来执行操作，例如在数组中搜索元素的n个元素。

但是对于O(Log n) ，并不是那么简单。让我们在二进制搜索算法的帮助下对此进行讨论，该算法的复杂度为O(log n) 。

二进制搜索：通过将搜索间隔重复分成两半来搜索排序后的数组。从覆盖整个数组的间隔开始。如果搜索键的值小于间隔中间的项目，则将间隔缩小到下半部分。否则，将其缩小到上半部分。重复检查，直到找到该值或间隔为空。

例子：

Sorted Array of 10 elements: 2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91

Let us say we want to search for 23.

查找给定的元素：
现在找到23，将有很多迭代，每个迭代都有上图中提到的步骤：

• 迭代1：

  Array: 2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 56, 72, 91

  • 选择中间元素。 (这里16 )
  • 由于23大于16，因此我们将数组分为两半，并考虑元素16之后的子数组。
  • 现在，此具有16个元素的子数组将被带入下一个迭代。
• 迭代2：

  Array: 23, 38, 56, 72, 91

  • 选择中间元素。 (现在56 )
  • 由于23小于56，因此我们将数组分为两半，并考虑元素56之前的子数组。
  • 现在，此带有56之前的元素的子数组将被带入下一个迭代。
• 迭代3：

  Array: 23, 38

  • 选择中间元素。 (现在23岁)
  • 由于23是中间元素。因此，迭代现在将停止。

  计算时间复杂度：

  • 假设二进制搜索的迭代在k次迭代后终止。在上面的示例中，它在3次迭代后终止，因此此处k = 3
  • 在每次迭代时，数组将被除以一半。假设任何迭代的数组长度为n
  • 在迭代1处，

    Length of array = n

  • 在迭代2处，

    Length of array = n⁄2

  • 在迭代3处，

    Length of array = (n⁄2)⁄2 = n⁄22

  • 因此，在迭代k之后，

    Length of array = n⁄2k

  • 另外，我们知道

    After k divisions, the length of array becomes 1

  • 所以

    Length of array = n⁄2k = 1
    => n = 2k
    

  • 双方都应用日志函数：

    => log2 (n) = log2 (2k)
    => log2 (n) = k log2 (2)
    

  • 为(log _a (a)= 1)
    所以，

    => k = log2 (n)
    

    因此，二分搜索的时间复杂度为

    log₂ (n)