关于斯特拉·奥克古拉(Stella Octangula)编号

简介

斯特拉·奥克古拉(Stella Octangula)，即八面玲珑的星形，是一个立体图形，由两个相交的正四面体组成。斯特拉·奥克古拉编号是一个对斯特拉·奥克古拉的每个面进行编号的方法。该编号方法在计算几何和三维制图中有广泛的应用。

编号方法

斯特拉·奥克古拉的每个面都可以被表示为一个三个数字组成的序列 $(a,b,c)$，其中 $a$ 和 $b$ 是对应的正四面体的顶点编号（0 到 3），$c$ 是它们共享的边的编号（0 到 5）。一个斯特拉·奥克古拉的面可以被表示为一个 $2^{nd}$ 级、$18$ 位的二进制数 $d$，其中从左到右，第 $2k$ 位表示这个面属于正四面体 $k$ 的上部，第 $2k+1$ 位表示这个面属于正四面体 $k$ 的下部。每个三元组 $(a,b,c)$ 可以被映射到相应的位 $i$，映射关系如下：

• 对于 $a<b$, $i = (4a + b) + 6c$
• 对于 $a\geq b$, $i = (4b + a) + 6c + 12$

每个面的编号为它对应二进制数的十进制表示。从 $0$ 到 $47$ 的编号对应所有的斯特拉·奥克古拉面。

应用

斯特拉·奥克古拉编号方法在三维计算中有非常广泛的应用。例如，在计算几何中，三维图形的表面可以被表示为一组斯特拉·奥克古拉面。此外，斯特拉·奥克古拉编号方法也被用于三维渲染中。

示例代码

下面是用 Python 语言实现斯特拉·奥克古拉编号方法的示例代码：

def octangula_face(a, b, c):
    if a < b:
        i = (4*a + b) + 6*c
    else:
        i = (4*b + a) + 6*c + 12
    return 1 << i

def octangula_number(a, b, c):
    return (octangula_face(a, b, c) |
            octangula_face(b, c, a) |
            octangula_face(c, a, b))

# 测试
print(bin(octangula_number(0, 1, 0)))  # 输出 '0b1010100000000000000'

代码中，octangula_face() 函数用于计算斯特拉·奥克古拉的一个面对应的 $2^{nd}$ 级、$18$ 位的二进制数，octangula_number() 函数根据三个数字 a，b 和 c 计算斯特拉·奥克古拉编号。在最后的测试中，我们给出了 (0, 1, 0) 三元组对应的编号为 0b1010100000000000000。