五角锥数

五角锥数（Pentagonal pyramid numbers）是一种多边形数，它表示以一个正五边形为底的五角锥的顶点数。

定义

第n个五角锥数记为P(n)，其公式为：

P(n) = n(3n-1)/2

前几个五角锥数分别是：

P(1) = 1
P(2) = 6
P(3) = 16
P(4) = 31
P(5) = 51
P(6) = 76
...

性质

递推公式

五角锥数的递推公式为：

P(n) = P(n-1) + 3(n-1) + 1

生成函数

五角锥数的生成函数为：

f(x) = x(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5)/((1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5))

关系式

五角锥数与其他多边形数之间存在如下关系式：

P(n) = (3n-2)T(n-1)/2

其中T(n)为第n个三角形数。

数列性质

五角锥数列P(n)是一个整数列，并且不存在连续的四个五角锥数都是质数。

应用

五角锥数在代数学和几何学中都有应用。在代数学中，五角锥数出现在奇异摄动理论中；在几何学中，五角锥数则出现在索罗斯纸模型中。

参考文献

• Pentagonal pyramid number - Wikipedia
• 五角锥数 - Wolfram MathWorld

def pentagonal_pyramid_number(n: int) -> int:
    return n * (3 * n - 1) // 2

# 五角锥数

五角锥数（Pentagonal pyramid numbers）是一种多边形数，它表示以一个正五边形为底的五角锥的顶点数。

## 定义

第n个五角锥数记为P(n)，其公式为：

`P(n) = n(3n-1)/2`

## 性质

### 递推公式

五角锥数的递推公式为：

`P(n) = P(n-1) + 3(n-1) + 1`

### 生成函数

五角锥数的生成函数为：

`f(x) = x(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5)/((1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5))`

### 关系式

五角锥数与其他多边形数之间存在如下关系式：

`P(n) = (3n-2)T(n-1)/2`

其中T(n)为第n个三角形数。

### 数列性质

五角锥数列P(n)是一个整数列，并且不存在连续的四个五角锥数都是质数。

## 应用

五角锥数在代数学和几何学中都有应用。在代数学中，五角锥数出现在奇异摄动理论中；在几何学中，五角锥数则出现在索罗斯纸模型中。

## 参考文献

- [Pentagonal pyramid number - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_pyramid_number)
- [五角锥数 - Wolfram MathWorld](https://mathworld.wolfram.com/PentagonalPyramidNumber.html)

```python
def pentagonal_pyramid_number(n: int) -> int:
    return n * (3 * n - 1) // 2